Wie kann ich diese Funktion aus der Statistik skizzieren, bzw. die Werte Ablesen?

Question

Aufgabe:

(a) Skizzieren Sie die Funktion

                   x  für 0 ≤ x ≤ 1,
f (x) =    {      2-x  für 1 < x ≤ 2
                   0 für x < 0 oder x > 2.

Welche zwei Eigenschaften müssen Sie zeigen, um zu begründen, dass die Funktion f eine Dichte ist ? Begründen
Sie (z.B. anhand ihrer Skizze), dass f in der Tat eine Dichte ist.

(b) Die Zufallsvariable X habe die Funktion f aus Teil (a) als Dichte. Markieren Sie in der Skizze der Dichte f aus Teil
(a) eine Fläche, deren Flächeninhalt gerade die Wahrscheinlichkeit P[1 ≤ X ≤ 2] darstellt. Geben Sie an, wie groß
diese Wahrscheinlichkeit ist.

Problem/Ansatz:

Dass f(x) ≥ 0 sein muss und dass das \( \int\limits_{-\infty}^{\infty} \) fx dx = 1 sein muss, weiß ich schonmal.

Ich habe aber keine Ahnung wie ich die Daten ablesen muss um damit eine Skizze anzufertigen :/

Über Lösungsvorschläge bzw. eine Erklärung würde ich mich sehr freuen!

Answer 1

So sieht es gezeichnet aus:

https://www.desmos.com/calculator/ipyu86ghik

Um zu zeigen, dass \(f\) eine Dichtefunktion ist, berechne:$$\int_{-\infty}^{\infty}f(x) \text{ dx} =1$$ Des Weiteren musst du zeigen, dass \(f(x)\geq 0\) für alle \(x\in\mathbb{R}\) gilt.

Du musst hier übrigens einfach den Flächeninhalt des gleichschenkligen Dreiecks zu berechnen.

\(A=0.5\cdot 2\cdot 1=1\)

eine Fläche, deren Flächeninhalt gerade die Wahrscheinlichkeit P[1 ≤ X ≤ 2] darstellt. Geben Sie an, wie groß
diese Wahrscheinlichkeit ist.

Das wäre die rechte Hälfte des Dreiecks. Die Wahrscheinlichkeit beträgt dort logischerweise \(P=0.5\)

Comments

Super, vielen Dank für die schnelle Antwort und die Skizze!

Leider stehe ich auf dem Schlauch und verstehe nicht wie du auf die Punkte (0/0), (1/1) und (0/2) gekommen bist. Könntest du mir dies kurz erklären oder gibt es irgendwo ein Regelwerk indem ich mir das anlesen könnte?

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die Dichtefunktion ist durch einzelne lineare Funktionen stückweise  definiert.

z. B. gilt für \(0 ≤ x ≤ 1\) die Funktion \(f(x)=x\). Die Ränder dieses Intervalls sind die Eckpunkte des Dreiecks:

\(f(0)=0\) und \(f(1)=1\).

Das geht mit den anderen Funktionen analog.

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Danke nochmal für deine schelle Antwort!

Leider kann ich es immer noch nicht nachvollziehen. Bei dem Beispiel mit f(0) = 0 und f(1) = 1 weiß lieder nicht was ich mit diesen Zahlen anfangen kann bzw. was sie bedeuten.

Wenn ich dein Beispiel auf f(x) = 2-x für 1< x ≤2 anwende kommt dann dass:

f(2-1)= 1 und f(2-2)= 0

dabei heraus?

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Ja. Aber du hast das etwas falsch dargestellst - du studierst nicht Mathematik, oder?

Es muss \(f(1)=2-1=1\) und \(f(2)=2-2=0\) heißen.

Du hast somit die Punkte P(1|1), Q(2|0) und von meiner vorherigen Antwort R(0|0) und S(1|1).

Also alle Eckpunkte des Dreiecks.

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Super, ich galube jetzt habe ich es verstanden - ich studiere Psychlogie und bereite mich gerade auf Statistik 1 vor. Es ist schon 12 Jahre her, dass ich mein Abi gemacht habe, daher fällt mir der Einstig in die Statisik ziemlich schwer.