Integration durch Ober- und Untersumme

Question

Aufgabe:

$$\begin{array} { l } { \text { Bestimmen Sie für } b > 1 \text { das Integral } \int _ { 1 } ^ { b } \frac { 1 } { x } d x , \text { indem Sie die Ober- und Untersummen } } \\ { \text { für die Zerlegungen } Z _ { n } = \left\{ 1 = b ^ { \frac { 0 } { n } } < b ^ { \frac { 1 } { n } } < \ldots < b ^ { \frac { n } { n } } = b \right\} \text { betrachten. } } \end{array}$$

$$\begin{array} { l } { \text { Hinweis: Man kann bestimmte Folgengrenzwerte wie lim } _ { n \rightarrow \infty } \frac { b \frac { 1 } { 1 } - 1 } { \frac { 1 } { n } } \text { mit den Mitteln für Funktions- } } \\ { \text { grenzwerte berechnen. } } \end{array}$$

Problem/Ansatz:

Wir fangen gerade erst mit Integralen an und ich steige da irgendwie noch nicht so ganz durch, wie ich jetzt was machen muss. Würde mich über Hilfe freuen :)

LG

Answer 1

Obersumme:

1. Zerlegung bestimmen. Wurde in der Aufgabe schon vorgegeben: b^0/n, b^1/n , b^2/n , ..., b^n/n.
2. Intervalle aus der Zerlegung bestimmen:
   [b^0/n, b^1/n], [b^1/n, b^2/n], [b^2/n, b^3/n], ..., [b^(n-1)/n, b^n/n]
   
3. Aus jedem Intervall den größten Funktionswert bestimmen:
   f(b^0/n), f(b^1/n), f(b^2/n), ..., f(b^n/n)
4. Funktionswerte mit der Breite des entsprechenden Intervalls multiplizieren
   f(b^0/n)·(b^1/n-b^0/n), f(b^1/n)·(b^2/n-b^1/n), f(b^2/n)·(b^3/n-b^2/n), ..., f(b^n/n)·(b^n/n- b^(n-1)/n)
5. Aufsummieren
   f(b^0/n)·(b^1/n-b^0/n) + f(b^1/n)·(b^2/n-b^1/n) + f(b^2/n)·(b^3/n-b^2/n) + ... + f(b^(n-1)/n)·(b^n/n- b^(n-1)/n)
6. Grenzwert für n→∞ bilden. Das könnte das Integral sein.
   

Für die Untersumme verwendest du in Punkt 3 den kleinsten Funktionswert auf dem jeweiligen intervall.

Wenn der Grenzwert der Obersummen gleich dem Grenzwert der Untersummen ist, dann heißt die Funktion integrierbar und der Grenzwert heißt Integral.

Comments

Danke erstmal für die Antwort.

Leider habe ich da immer noch Verständnisschwierigkeiten (Wieso ist der größte Funktionswert jedes Intervalls immer der "kleinere" Wert (also f(b^0/n) anstelle von f(b^1/n)) aber vom letzten Intervall ist es dann ^n/n statt ^(n-1)/n? Ich verstehe, dass b^n/n größer ist als b^(n-1)/n, nur nicht, warum b^0/n größer ist als b^1/n?