Eigenwerte und quadratische Form

Question

Gegeben sind zwei symmetrische Matrizen $$ A,B \in \mathbb{R}^{2 \times 2}$$$$\displaystyle A = \begin{pmatrix}6 & 6 \\ 6 & 6 \end{pmatrix}, \qquad B = \begin{pmatrix}-3 & 0 \\ 0 & -5 \end{pmatrix}$$

Wir bezeichnen die zugehörigen quadratischen Formen mit $$ q_A$$ und $$ q_B$$.

(a) Bestimmen Sie die Eigenwerte $$ \lambda_1$$ und $$ \lambda_2$$ der Matrix $$ A$$ und ordnen Sie diese aufsteigend.

Markieren Sie alle Eigenschaften, welche auf die quadratische Form q_A zutreffen. Markieren Sie nichts, falls keine zutrifft.

q_A ist positiv definit
q_A ist negativ definit
q_A ist indefinit

(b) Bestimmen Sie die Eigenwerte $$ \mu_1$$ und $$ \mu_2$$ der Matrix  B und ordnen Sie diese aufsteigend.

Markieren Sie alle Eigenschaften, welche auf die quadratische Form  q_B zutreffen. Markieren Sie nichts, falls keine zutrifft.

q_B ist positiv definit
q_B ist negativ definit
q_B ist indefinit

Answer 1

Für die a):

\(\lambda^2-12*\lambda=\lambda*(\lambda-12)=\lambda*(\lambda-12)\).

Daraus folgen die zwei Eigenwerte \(\lambda_1 = 0 \text{ und } \lambda_2 = 12\)

Für  \(\lambda_1 = 0\):

\( \begin{pmatrix} 6-0 & 6 \\ 6 & 6-0 \end{pmatrix} \)  = \( \begin{pmatrix} 6 & 6 \\ 6 & 6 \end{pmatrix} \) \(\overset{*_1}{=}  \begin{pmatrix} 6 & 6 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\) 

Daraus ergibt sich 6\(x_1\) + 6\(x_2\) = 0 \(\rightarrow x_1 = -x_2\)

Dein Eigenvektor ist somit (t = x2):

\(\lbrace t \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix} | t \in \mathbb{R} \rbrace \)

Für  \(\lambda_1 = 12\):
\( \begin{pmatrix} 6-12 & 6 \\ 6 & 6-12 \end{pmatrix} \)  = \( \begin{pmatrix} -6 & 6 \\ 6 & -6 \end{pmatrix} \) \(\overset{*_2}{=}  \begin{pmatrix} -6 & 6 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\)

Daraus ergibt sich -6\(x_1\) + 6\(x_2\) = 0 \(\rightarrow x_1 = x_2\)
Dein Eigenvektor ist somit (t = x2):
\(\lbrace t \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} | t \in \mathbb{R} \rbrace \)

\(\Rightarrow q_A\) ist positiv semidefinit, da die Eigenwerte größer beziehungsweise gleich 0 sind.

b)

\(\lambda^2+8*\lambda+15=(\lambda+5)*(\lambda+3)\)

Daraus folgen die zwei Eigenwerte \(\lambda_1 = -3 \text{ und } \lambda_2 = -5\)

Alternativ: Da B eine Diagonalmatrix ist, kannst du die Eigenwerte direkt ablesen.

\(\Rightarrow q_B\) ist negativ definit, da die Eigenwerte kleiner 0 sind.