Kurvendiskussion mit Exponentialfunktionenschar

Question

Aufgabe:

Hey ich probiere mich momentan an einer Abituraufgabe. Es ist eine Funktionenschar die lautet:

f_k(x) = (x - k) * e^x/k, k element R+

So ich habe bereits den Schnittpunkt mit der y-Achse herausbekommen (sollte -k) sein. Jetzt soll ich: "die Anzahl und den Typen der Schnittpunkte mit der x-Achse" angeben.

So das ist irgendwie ein Problem. Erstens weiß ich nicht was mit "Typ" gemeint ist und wie ich die Anzahl der Nullstellen berechnen soll. Ich habe versucht diese auszurechnen, aber da gibt es ein paar Probleme.

Problem/Ansatz:

Ich habe f_k(x) gleich null gesetzt. Aber jetzt weiß ich nicht welche Regeln der Mathematik ich anwenden soll. Ich habe ja einmal ein x in der Potenz. Ich dachte dort könnte man den "ln" benutzen, jedoch tue ich mich damit recht schwer.

Und dann müsste das x in der Klammer ja noch rüber. Eigentlich sollte es kein Problem sein dies mit Subtraktion rüber zu holen (oder?)

Ich würde mich sehr über Hilfe freuen beim herausfinden der Anzahl der Nullstellen der Funktionenschar...

Lg Dome

Answer 1

Es geht hier um die Nullstelle.

Schnittpunkte mit der x-Achse : ------>y=0

(x - k) * e^(x/k)=0

->Satz vom Nullprodukt:

a) x - k=0

x=k

b) e^(x/k)=0 ->keine Lösung

Comments

warum ist e^(x/k) gleich "keine Lösung"?

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Die Exponentialfunktion besitzt keine Nullstelle.

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Okay, also wir haben nur eine Nullstelle und die ist x = k?

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So ist es.

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Wenn ich mir das so aufschreibe:

0 = (x-k)*e^x/k

^{Wie soll ich es "mathematisch" korrekt hinschreiben dass für meinen hinteren Term keine Nullstelle vorliegt? 0 werden kann das ja auch nicht weil sonst die ganze Gleichung null werden würde.}

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e^(x/k)=0 | ln(..)

x/k= ln(0) ->ln(0) ist nicht definiert

->keine Nullstellen.

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Wenn ich den ln bilde, müsste dann nicht von allem der ln genommen werden? also auch von (x-k)?

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Okay verstanden. Ist dann das folgende auch richtig so? Ich habe von der 1. Ableitung die Nullstellen berechnet. Ist dies auch so richtig?

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k * 0 =0 ≠ k ; k≠0

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Könntest du mir das vielleicht mal vorrechnen?

Ich bin mir unsicher was ich mache wenn ich folgendes habe:

x * (x/k) = ln(0)

Wenn ich jetzt mal k rechne, um es auf die andere Seite zu bekommen, was ist mein Ergebnis dann, entweder:

x*x = ln(0) * k → 0

oder,

x*x = ln(0)*k → k

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e^(x/k) *x/k= 0

->Satz vom Nullprodukt:

e^(x/k)=0 ->keine Nullstellen

x/k= 0 |*k  k≠ 0

x=0

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also bei

x * e^(x/k) = 0

fällt einfach mein e Term weg, so das x = 0 verbleibt?

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ja , warum das mit dem e- Term so ist , hatte ich ja oben erklärt.