Charakteristisches Polynom - Endlicher Körper

Question

Aufgabe:

Berechnen sie für die Matrix $$A = \left( \begin{array} { c c c } { 4 } & { 0 } & { 5 } \\ { 6 } & { 1 } & { 6 } \\ { 5 } & { 6 } & { 2 } \end{array} \right) \in \operatorname { Mat } _ { 3 } \left( \mathbb { F } _ { 7 } \right)$$ das charakteristische Polynom χA(T), finden Sie durch Probieren dessen Wurzeln, und entscheiden Sie, ob A diagonalisierbar ist.

Problem/Ansatz:

Das charakteristische Polynom lautet -x³ +7x² +47x +19 = 0, modulo 7 ergibt 6x³ +5x +5 = 0

Aber wie berechne ich nun die Eigenwerte?

https://www.wolframalpha.com/input/?i=(-x%C2%B3%2B7x%C2%B2%2B47x%2B19+%3D+0)+mod+7

Hier sieht man, dass die Eigenwerte 2 und 3 sind aber ich verstehe nicht wie man darauf kommt..

Comments

Tipp: Der Kõrper \(\mathbb F_7\) hat nur sieben Elemente. Setze diese nacheinander ein.

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p(x) = 6x³+5x+5

p(0) = 5

p(1) = 16

p(2) = 63

p(3) = 182

p(4) = 409

...

Ahh ich verstehe, die Eigenwerte sind dann da, wo das Resultat mod 7 = 0 ist? Also 63 und 182. Aber woher weiß man dann die algebraische Vielfachheit?

Außerdem komme ich beim Berechnen der Eigenvektoren für x = 2, also $$A = \left( \begin{array} { c c c } { 2 } & { 0 } & { 5 } \\ { 6 } & { 6 } & { 6 } \\ { 5 } & { 6 } & { 0 } \end{array} \right)$$ auf x=-5z/2, y=3/2z und 17/2z = 0 (z=0), was mir nicht richtig erscheint..

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Ok passt schon ich habs verstanden, habe vergessen dass 2x = -5z zB in diesem Fall 2x=2z ist.

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Vielleicht noch ein Tipp: Nach meinen Berechnungen ist 6x³ + 5x + 5 = 6(x + 5)²(x + 4). Danach ist 2 ein doppelter Eigenwert.

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Danke das hat mir sehr geholfen!

Answer 1

Hallo

 man muss halt probieren, 1,2,3 (den Teiler von 5 mod7) einsetzen und feststellen, dass das Polynom  bei x=2 und x=3 Null ist, oder erstmal bei x=2 und dann durch x-2 dividieren.

Gruß lul