Liegen die Punkte A,B,C,D in einer gemeinsamen Ebene ?

Question

A(0/1/-1)

B(2/3/5)

C(-1/3/-1)

D(2/2/2)

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Bitte notiere doch deine Ansätze oder deine Fragen zu dieser Aufgabe!

Answer 1

Die Punkte liegen in einer Ebene, wenn es \(r\) und \(s\) gibt, so dass

        \(\vec{OD}=\vec{OA} + r\cdot\vec{AB} + s\cdot \vec{AC}\)

ist.

Genauer gesagt: suche unter den drei Punkten A,B,C,D drei Punkte aus, die nicht in einer Geraden liegen, stelle die Parametergleichung der Ebene durch diese Punkte auf und setze den Ortsvektior des vierten Punktes ein. Die Punkte liegen genau dann in einer Ebene, wenn die so entstandene GLeichung lösbar ist.

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Zumindest dann, wenn AB und AC schon linear unabhängig sind. Was bei solchen Aufgaben nicht immer ganz selbstverständlich ist.

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Ich hab's noch mal ausführlicher hingeschrieben.

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Woher weiß man Welche drei Punkte nicht in einer geraden liegen ?

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Woher weiß man Welche drei Punkte nicht in einer geraden liegen ?

Bilde aus drei Punkten zwei Differenzvektoren. Z.B. aus A, B und C:$$\vec{AB} =\begin{pmatrix}2\\ 3\\ 5\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}0\\ 1\\ -1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2\\ 2\\ 6\end{pmatrix} \\ \vec{BC} = \begin{pmatrix}-1\\ 3\\ -1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2\\ 3\\ 5\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-3\\ 0\\ -6\end{pmatrix}$$und wenn es keinen Faktor \(k\) gibt, mit \(k \ne 0\), der den einen Differenzvektor in den anderen umrechnet - also so$$\begin{pmatrix}2\\ 2\\ 6\end{pmatrix} \stackrel{?}{=} k \cdot \begin{pmatrix}-3\\ 0\\ -6\end{pmatrix}$$... dann liegen die drei Punkte nicht auf einer Geraden.

Wenn Du Dir oben die zweite Koordinate von \(\vec{BC}\) anschaust. Diese ist \(=0\). Und egal mit was Du \(0\) multiplizierst, es wird nie \(2\) dabei heraus kommen. Es gibt auch keinen gemeinsamen Wert für \(k\) für die erste und dritte Koordinate.

Answer 2

AB; AC und  AD sind nicht linear abhängig. Daher liegen A, B, Cund D nicht in einer Ebene.

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was meinst du mit linear abhängig ?

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Genau das liest du in der Antwort von oswald.

Answer 3

AB = [2, 2, 6]

AC = [-1, 2, 0]

AD = [2, 1, 3]

AB und AC sind linear unabhängig

Es gibt keine Lösung für r, s sodass gilt

r·[2, 2, 6] + s·[-1, 2, 0] = [2, 1, 3]

Comments

Vektoren sind linear unabhängig wenn ihre Linearkombination gleich dem Nullvektor nur die Triviallösung (alle Koeffizienten null) hat.

r·AB + s·AC + t·AD = 0 hat nur die Triviallösung r = s = t = 0

Sind AB und AC linear unabhängig, kann man es vereinfachen zu
r·AB + s·AC = AD

Hier darf das Gleichungssystem bei linearer Unabhängigkeit keine Lösung haben.