Liegen A(5; 0; 5), B(6; 3; 2), C(2; 9; 0), D(3; 12; -3) in einer gemeinsamen Ebene?

Question

Untersuche, ob die folgenden vier Punkte in einer gemeinsamen Ebene liegen.

 A(5; 0; 5), B(6; 3; 2), C(2; 9; 0), D(3; 12; -3)

E: A +r*(B-A)+s*(C-A)

E:\vec{x} = (5;0;5)+r*(1;3;-3)+s*(-3;9;-5)

 

(5;0;5)+r*(1;3;-3)+s*(-3;9;-5) = (3;12;-3)

 

3   = 5+1r-3s   (1)

12 = 3r+9s       (2)

-3 = 5-3r-5s     (3)

 

 

Vertauschen:

-3 = 5-3r-5s       (1)

3   = 5+1r-3s     (2)

12 = 3r+9s        (3)

Und wie geht es  weiter?

Comments

Habt ihr das Spatprodukt (noch) nicht behandelt? 

https://de.wikipedia.org/wiki/Spatprodukt

Wenn das bekannt ist, kannst du [AB, AC, AD] ausrechnen. Falls das 0 gibt liegen die Punkte in einer Ebene, sonst nicht. 

Answer 1

A(5; 0; 5), B(6; 3; 2), C(2; 9; 0), D(3; 12; -3)

AB = [1, 3, -3]

AC = [-3, 9, -5]

AD = [-2, 12, -8]

[1, 3, -3] ⨯ [-3, 9, -5] = [12, 14, 18]

[12, 14, 18] * [-2, 12, -8] = 0

Damit liegt AD in den Ebene von AB und AC.