Konvergenz von Folgen/Reihen

Question

Aufgabe:

$$\text{Es sei } a_{n}  \text{ eine Folge deren Reihe }\sum \limits_{k=1}^{\infty} a_{k} \text{ konvergiert. } \text{ Zeigen Sie, dass dann auch } a_{n} \text{ konvergiert und das zusätzlich gilt } \lim\limits_{n\to\infty} a_{n} = 0$$

Problem/Ansatz:

Ich habe leider wirklich keine Idee wie ich beides zeigen könnte. Ich tue mich leider sehr schwer mit dem beweisen bzgl. Folgen und Reihen ..

Answer 1

Hier ist eigentlich wichtig , dass gilt das eine Reihe nur konvergiert, wenn ihre Reihenglieder eine Nullfolge bilden. Wenn das nicht gilt, dann ist die Reihe divergent.

Darauf kannst du eigentlich den Beweis aufbauen

Comments

Erstmal danke für die Antwort.

Aber das soll ja auch bewiesen werden. Also kann ich das ja nicht als bewiesen ansehen und darauf aufbauen oder? Wie könnte man anfangen?

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Wenn du überlegst, dass gelten muss das die Summe aller Partialsummen einer Folge divergieren wenn ihr Grenzwert nicht 0 ist, dann probier es am besten mit einem Widerspruchsbeweis.

Also gehst du davon aus das die Reihe konvergiert, wenn alle Reihenglieder eine Nullfolge bilden.

\( s_n = \) \( \sum\limits_{i=1}^{\infty}{a_i} \) , also existiert ein Grenzwert \( \lim\limits_{n\to\infty} s_n = s \)

Also :

\( \lim\limits_{n\to\infty} a_n\) = \( \lim\limits_{n\to\infty} (s_n-s_{n-1} )  \) = \( \lim\limits_{n\to\infty} s_n \)- \( \lim\limits_{n\to\infty} s_{n-1}\) = s-s = 0