Verständnisfrage zur algebraischen und geometrischen Vielfachheit

Question

Wenn ich nun die Matrix $$ A :=\left( \begin{array}{cccc}{3} & {0} & {4} & {2} \\ {0} & {-3} & {-2} & {1} \\ {0} & {0} & {2} & {0} \\ {0} & {0} & {1} & {-3}\end{array}\right) $$ habe.

Hieraus folgen das charakteristische Polynom (a-3)(a-2)(a+3)^2 und die Eigenwerte a_1=3, a_2=2 , a_3=-3 und a_4=-3.
Außerdem sehen wir schnell das die alg.VFH für a_1 und a_2 gleich 1 ist und für a_3=-3 und a_4=-3. gleich 2.

Nun weiß ich aus dem Skript, dass  gilt alg. VFH >= geo. VFH. 
Daraus folgt trivialerweise die geo. VFH von a_1 und a_2 die gleich 1 ist.
Aber was ist mit a_3=-3 und a_4=-3?
Im Skript steht, man solle die Eigenräume bestimmen, aber was soll ich an den Eigenräumen den sehen? Der Eigenwert von a_3 und a_4  ist doch gleich, also sind die Eigenvektoren doch automatisch linear abhängig und daraus würde doch folgen geo. VFH 1 ist oder ?

Ich finde dieses Thema so unglaublich undurchsichtig, dagegen ist Analysis ein Kinderspiel :)
Kann mir Jemand erzählen /Zeigen, wie ich mit solchen Dingen umzugehen habe, ich sitze nun schon seit 5 h an der Aufgabe und habe das halbe Internet schon durchgeforstet, ich muss es unbedingt für die Klausur verstehen.

Liebe Grüße

Comments

Wenn ich
$$A :=\left( \begin{array}{cccc}{3-z} & {0} & {4} & {2} \\ {0} & {-3-z} & {-2} & {1} \\ {0} & {0} & {2-z} & {0} \\ {0} & {0} & {1} & {-3-z}\end{array}\right)$$
mit z = -3 berechne, dann komme ich auf folgende NZSF
$$ \left( \begin{array}{llll}{1} & {0} & {0} & {0} \\ {0} & {0} & {1} & {0} \\ {0} & {0} & {0} & {1} \\ {0} & {0} & {0} & {0}\end{array}\right) $$

Da hier die Dimension des Kerns 1 ist, kann ich daraus folgern, dass die die geometrische VFH von -3 gleich 1 ist? Würde ja auch der Eigenraum vom Eigenwert -3 nur 1 Vektor enthalten der ungleich Null ist und seiner Vielfachen, bitte bestätigt,oder berichtigt mich.

Answer 1

Die Eigenwerte deiner Matrix sind
$$ \lambda_1 =3, ~\lambda_2=2, ~\lambda_3=3$$
Die algebraischen Vielfachheiten hast du richtig bestimmt, die geometrische zu den ersten beiden auch.
Dein Ansatz zur Bestimmung der geometrischen Vielfachheit von \( \lambda_3 \) ist auch richtig.
Du bestimmt einfach den Eigenraum zu diesem Eigenwert, also
$$ Eig(A,\lambda_3) = Lös(A-\lambda_3 E, 0) $$
was dem Lösungsraum des LGS \( (A-\lambda_3 E)x = 0 \) entspricht.
Die geometrische Vielfachheit von \( \lambda_3 \) ist jetzt einfach die Dimension des Eigenraums zu \( \lambda_3 \). In diesem Fall also 1.

Würde ja auch der Eigenraum vom Eigenwert -3 nur 1 Vektor enthalten der ungleich Null ist und seiner Vielfachen,

Der Eigenraum ist immer ein Untervektorraum (enthält also auch den Nullvektor, obwohl dieser KEIN Eigenvektor ist!). Aber ja, die geometrische Vielfachheit sagt dir welche Dimension der Eigenraum hat. In diesem Fall hat der Eigenraum Dimension 1 und besitzt somit auch eine Basis mit genau 1 Vektor. Im Eigenraum sind dann alle Linearkombinationen (hier also einfach alle skalaren Vielfachen) der Basisvektoren.

Comments

Danke und noch eine gut nacht