Lineare Abhängigkeit kurze Verständnisfrage zur Anwendung

Question

ich habe eine kurze Verständnisfrage zu dem Thema Lineare Unabhängigkeit. Und zwar habe ich gelernt, dass man die lineare abhängigkeit damit zeigen kann, dass man entweder die Determinane oder die Linearkombination berechnet.

So meine Frage nun: Wenn ich z.B. 3 Vektoren im R^2 auf lineare abhängigkeit prüfen soll, so kann ich ja sagen, dass wenn die vektorzahl die dimension übersteigt, die vekoren immer linear abhängig sind. Meine Frage nun:  kann man pauschal sagen, dass wenn ich weniger oder gleich viele Vektoren wie die Dimension habe, dann Linearkombination/Determinante bilden und bei mehr Vektoren als Dimension= linear abhängig ?

lG

Comments

Wenn du mehr Vektoren hast als die Dimension des Vektorraums, dann sind die Vektoren linear abhängig; das stimmt.

Wovon willst du die Determinante/Linearkombination berechnen?

Answer 1

Wir haben damals bei unserer Lehrerin folgenden Satz gelernt.

n linear unabhängige Vektoren spannen einen n-Dimensionalen Raum auf.

Folglich Können im R³ nur maximal 3 Vektoren linear unabhängig sein. Hat man 4 Vektoren hat man zwangsweise eine lineare Abhängigkeit.

Comments

Genau den Satz habe ich auch gelernt. Jetzt ging es mir darum, dass wenn ich in der Klausur sitze, ich am schnellsten erkenne, welches verfahren ich anwenden soll, um die aufgabe schnell zu lösen.

Deswegen meine Frage, kann man das so pauschal sagen:

1)mehr Vektoren wie Dimension = linear abhängig, ohne rechnen
2)genau so viele vektoren wie dimension= determinante ( wenn = 0, dann lin. abhängig)
3) weniger vektoren als dimension = linear kombi aufstellen, wenn λ₁=λ₂=λ₃=0, dann linear unabhängig

kann man das so sagen?

lG

---

Ja. Das kannst du so machen.

Du kannst 3 aber auch anstelle von 2 machen. Je nachdem wie schwer es ist die Determinante zu bestimmen. Bis 3x3 geht das mit der Regel von Sarrus ja recht einfach. Darüber hinaus ist es eventuell einfacher gleich ein Gleichungssystem zu nehmen.