Abbildung in R auf Injektivität, Surjektivität und Bijektivität prüfen

Question

Aufgabe:

f : R → R, x -> x^2 − 3x + 2

injektiv, surjektiv oder bijektiv

Problem/Ansatz:

Habe hier eine Abbildung, die ich auf Injektivität, Surjektivität und Bijektivität überprüfen soll.

Injektiv ist es ja, wenn f(x1)=f(x2) => x1=x2

Also habe ich die obere Abbildung gleichgesetzt und so weit vereinfacht → x1^2 = x2^2+x1, dass entspricht nicht der Definition,da x1 != x2 ist, also  nicht inektiv

Für die surjektivität gilt f(x)=y

Also, habe ich die Abbildung nach x umgeformt , was x=srqt(y+3x-2) ergibt.
Da die Umformung geklappt hat, ist die Abbildung surjektiv

nicht bijektiv, da injjektivität nicht gegeben ist.

Stimmen meine Schlussfolgerungen?

Comments

f : R → R, x 7→ x 2 − 3x + 2

Stimmt das? Was macht die 7 da? Steht R für reelle Zahlen?

Bitte Gross- und Kleinschreibung in der Überschrift und im Text berichtigen.

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Verzeihung, hatte mich wohl vertippt, ist jetzt angepasst.

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Nun verstehe ich noch nicht, wie du auf

x1^{2} = x2^{2}+x1

kommst. Und dann auch nicht, warum du hier einen Widerspruch erkennst.

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Naja x1^{2} = x2^{2}+x1 ist ja ungleich x1=x2.

Habe die Abbildung gleich gesetzt, vereinfacht kam  das heraus; x1^{2} = x2^{2}+x1

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Ich glaube beides nicht. Zeig mal deine Rechnungen.

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Das wäre mein Rechenweg gewesen

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Deine Division durch (-3) ist fragwürdig / falsch.

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ah jetzt sehe ich es auch.

Answer 1

~plot~ x^2 - 3x + 2 ~plot~

Weil f(1) = f(2) = 0 und 1 ≠ 2 ist f nicht injektiv.

Weil f(x) = -1 nicht vorkommt, ist f nicht surjektiv.

Somit ist f auch nicht bijektiv.

Comments

Und wie kommt man auf sowas ohne einer Abbildung?

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Parabelgleichungen kennst du bestimmt.

Von dort bekommst du Ideen für die Antwort.

Faktorisieren kann auch helfen.

x^{2} − 3x + 2 = (x-2)(x-1) 

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gut danke, aber bei der Surjektivität, ist es nicht so, dass wenn sich eine Umformungen machen lässt, es dann surjektiv ist?

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Das muss schon eine Äquivalenzumformung sein, sonst ist das falsch.

Problem hier im Prinzip: Wurzeln aus negativen Zahlen gibt es in R nicht.

Answer 2

Die Abbildung ist nicht injektiv wegen f(1) = f(2).

Die Abbildung ist nicht surjektiv, weil f(x) ≠ -1 für alle x∈ℝ.

Die 1 und die 2 habe ich gefunden indem ich mich daran erinnert habe, dass mir mal irgendjemand in Klasse 9 beigebracht hat, dass der Graph von quadratischen Funktionen symmetrisch zu der Geraden durch den Scheitelpunkt ist. Den Scheitelpunkt (3/2 | -1/4) habe ich mittels Scheitelpunktform gefunden. Da dieser tiefster Punkt ist, kann f(x) nicht den Wert -1 haben.

Answer 3

Hallo

 die Abbildung ist zwar wirklich nicht objektiv, aber wie du das überprüft hast verstehe ich nicht.

 du musst doch überprüfen, dass es 2 verschiedene x gibt, die das gleiche f(x) haben.

schreibe f(x) in die sog. Scheitelpunktform um

f(x)=(x-3/2)^2-1/4

dann siehst du hoffentlich wie du verschiedene x mit demselben f(x) bekommst, auch dass f(x)>-1/4 ist sollte über subjektiv was sagen.

Hättest du die Parabel mal skizziert, hättest du die Antworten direkt gesehen.

Gruß lul