Struktur diskutieren

Question

Aufgabe:

Es sei die Menge $$M := \left \{ \begin{pmatrix} a& 0\\ b & 0\end{pmatrix} \space a,b \in \mathbb{R} \right \} $$ gegeben. Nun soll die Struktur von \((M, \cdot)\), \((M, +)\)  und \((M, \cdot,+)\) diskutiert werden. Was ist die Struktur wenn \(b=0\) ist?

Problem/Ansatz:

Es müssen doch einfach die Gruppenaxiome bzw. Ringaxiome überprüft werden oder?

Da es kein inverses Element gibt ist es keine Gruppe bezüglich Addition.

Und auch keine Gruppe bezüglich Multiplikation...

Stimmt das soweit

Comments

Da es kein inverses Element gibt ist es keine Gruppe bezüglich Addition.

Bist du dir da sicher?

Was wäre mit M^(-1) := ((-a, 0),(-b,0)) bezüglich Addition?

Answer 1

Es müssen doch einfach die Gruppenaxiome bzw. Ringaxiome überprüft werden oder?

Ja, denke ich auch. 

Da es kein inverses Element gibt ist es keine Gruppe bezüglich Addition.

Doch invers ist

-a  0
-b  0

neutrales El ist

0  0
0  0

Und assoziativ ist + auch,  und (M,+)  abgeschlossen

also  (M,+) eine Gruppe,

sogar kommutative Gruppe.

Und auch keine Gruppe bezüglich Multiplikation...

Ja: Abgeschlossen ist es ja, weil für je zwei

Elemente A,B aus M immer auch A*B und B*A aus M sind.

Assoziativ ist es auch, aber ein neutrales

Element. ist hier  wohl nicht vorhanden.

Ring könnte es sein (ohne 1-Element). Da fehlt ja nur noch

Distributivität und ich meine, das sei erfüllt.

Körper ist es nicht, da kein 1-Element.

Comments

Ist aber doch dann auch kein Ring wenn es kein neutrales Element der Multiplikation gibt.

Es ist erst ein Ring wenn b=0.

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Nach der Definition doch:

https://de.wikipedia.org/wiki/Ring_(Algebra)#Ring