Ist (M \ {(1, 1, 0, 1)}) ∪ {(−2, 0, 3, 1)} linear unabhängig? || Zeigen Sie ℝ4 = ⟨M⟩ℝ ⊕ ⟨(1, 0, 0, 0)⟩ℝ!

Question

Sei M := {(−1, 2, 0, 0),(1, 1, 0, 1),(1, 0, 3, 3)} ⊆ ℝ⁴

a) Ist auch (M \ {(1, 1, 0, 1)}) ∪ {(−2, 0, 3, 1)} linear unabhängig über ℝ?

b) Zeigen Sie, dass ℝ⁴ = ⟨M⟩_ℝ ⊕ ⟨(1, 0, 0, 0)⟩_ℝ ist!

Answer 1

Bei a) geht es um {(−1, 2, 0, 0),(−2, 0, 3, 1),(1, 0, 3, 3)} ⊆ ℝ4
Schon aus den letzten beiden Komponenten lässt sich das Paar (0, 0) nur auf triviale Weise herstellen.