Zeigen Sie, dass ℝ4 = ⟨M⟩ℝ ⊕ ⟨(1, 0, 0, 0)⟩ℝ ist!

Question

Sei M := {(−1, 2, 0, 0),(1, 1, 0, 1),(1, 0, 3, 3)} ⊆ ℝ⁴

Zeigen Sie, dass ℝ⁴ = ⟨M⟩_ℝ ⊕ ⟨(1, 0, 0, 0)⟩_ℝ ist!

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Answer 1

Hallo

Wenn die insgesamt 4 Vektoren linear unabhängig sind bilden sie eine Basis des R^4, also musst du nur das zeigen.

als Zeilen einer Matrix schreiben, Gauss auf Dreiecksform darf keine 0 Zeile ergeben.

Gruß lul

Answer 2

die Antwort kannst du dir mit dem skalaren Produkt herleiten.

(1,0,0,0) stellt auch eine Kanonische Basis für einen Vektor aus R^4 dar. Du kannst also für jede Komponente eines bereits gegebenen Vektor ein skalares Produkt finden, die dich am Ende auf den gesuchten Vektor (1,0,0,0), also die Kanonische Basis bringt.