Für welche Primzahlen ist die Matrix nilpotent

Question

Aufgabe:

Für welche Primzahlen p > 0 ist die Matrix $$A = \left( \begin{array} { c c c } { 0 } & { - 2 } & { - 5 } \\ { 1 } & { - 2 } & { - 4 } \\ { 0 } & { 4 } & { 12 } \end{array} \right) \in \operatorname { Mat } _ { 3 } \left( \mathbb { F } _ { p } \right)$$ nilpotent? Begründen Sie ihre Antwort.

Problem/Ansatz:

Hatte geplant die Matrix zu diagonalisieren, aber beim Charakteristischen Polynom komme ich auf - x³ + 10x² + 6x + 4, jetzt weiß ich jedoch nicht mehr weiter da ich keine Nullstelle finde. Wie muss man hier vorgehen?

Comments

Tipp: Es muss det(A)=0 gelten.

Answer 1

beim Charakteristischen Polynom komme ich auf - x³ + 10x² + 6x + 4

Na ok. Und das darf nur die Nullstellen 0 haben.

Das ist genau dann der Fall, wenn 4=0 und 6=0 und 10=0 gilt,

also geht es allenfalls für p=2.

Und A^3 besteht nur aus geraden Zahlen, ist also

für p=2 die Nullmatrix.