Umformungsregeln Additionstheoreme

Question

Aufgabe:

\( \frac{1}{4} \)(1-2cos(2x)+cos²(2x)) = \( \frac{1}{4} \)(1-2cos(2x)+\( \frac{1}{2} \)(1+cos(4x))) = \( \frac{1}{8} \)(3-4cos(2x)+cos(4x))

Problem/Ansatz:

Welche Rechengesetze/-regeln liegen diesen Gleichungen zugrunde und begründen diese? mit Erklärung bitte

insbesondere, wie aus cos²(2x)   \( \frac{1}{2} \)(1+cos(4x)) wird und woher kommt das \( \frac{1}{8} \)?

Answer 1

Es gilt nach Doppelwinkelformel

 cos(2z)=cos²z-sin²z = cos²z-(1-cos²z)=2cos²(z) - 1.

Wenn wir mal die Zwischenschritte weglassen, gilt also

cos(2z)=2cos²(z) - 1.

Das lässt sich nach cos²(z) umstellen:

\(cos²(z)=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}cos(2z) \)

Setzt man z=2x, entsteht

\(cos²(2x)=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}cos(4x) \)

Am Ende hat man nur noch 1/4 als 2/8 und 1/2  als 4/8 geschrieben, alles ausmultipliziert, zusammengefasst und den Faktor 1/8 ausgeklammert.