1)
Gegeben ist die Quadrik $$Q = \left\{ x \in \mathbb{R}^3 \mid x^{\operatorname{T}} A x + 2a^{\operatorname{T}} x + c = 0 \right\}$$ mit $$\displaystyle A = \begin{pmatrix}3 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}, \; a = \begin{pmatrix}0 \\ -9 \\ 4 \end{pmatrix}, \; c= 36. $$
Für $$ P \in \mathbb{R}^3$$ bezeichnen wir mit F das Koordinatensystem
F=(P,(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1))
Bestimmen Sie P so, dass Q im Koordinatensystem F euklidische Normalform annimmt und geben Sie diese an.
2)
Für $$ \alpha \in \mathbb{R}$$sei die Folge $$ \left( a_n \right)_{n \in \mathbb{N}}$$ gegeben durch
$$\displaystyle a_n = \left( - \dfrac{3}{4} - \dfrac{1}{4} \alpha \right)^n. $$
(a) Für welche a ist die Folge $$ \left( a_n \right)_{n \in \mathbb{N}}$$ beschränkt?
Bestimmen Sie s,t in R so, dass die Folge $$ \left( a_n \right)_{n \in \mathbb{N}}$$ für $$ \alpha \in \left[s,t\right]$$ beschränkt ist.
(b) Für welche aist die Folge $$ \left( a_n \right)_{n \in \mathbb{N}}$$ monoton?
Entscheiden Sie sich für eine der beiden Antworten und geben Sie darunter die berechnete Schranke an.
Die Folge $$ \left( a_n \right)_{n \in \mathbb{N}}$$ ist monoton für $$ \alpha \leq c$$.
Die Folge $$\left( a_n \right)_{n \in \mathbb{N}}$$ ist monoton für $$ \alpha \geq c$$.
c=?
Hinweis: Betrachten Sie die Folge $$ (\beta^n)_{n \in \mathbb{N}}$$ für die Fälle $$ \beta \leq -1, -1 \leq \beta \leq 0, 0 \leq \beta \leq 1, 1 \leq \beta$$.
