Wie komme ich zur Keplerschen Fassregel?

Question

Aufgabe:

K=1/3(2S+T)

= 1/3(2*b-a/2(f(a)/2+f(m)+f(b)/2)+(b-a)*f(m)

= 1/6 (b-a) (f(a)+4f(m)+f(b)

Soll wohl heißen: $$\begin{aligned} K &= \frac 13 (2S+T)  \\&= \frac 13 \left(2\frac {(b-a)}2 \left( \frac 12 f(a)+f(m)+ \frac 12 f(b) \right)+(b-a) \cdot f(m) \right) \\&= \frac 16 (b-a) (f(a)+4f(m)+f(b)\end{aligned}$$

Problem/Ansatz:

Wie kommt man auf das Ergebnis bzw. auf die keplersche Fassregel? Ich verstehe nicht was man alles ausklammern, multiplizieren etc. machen muss..

Comments

= 1/3(2*b-a/2(f(a)/2+f(m)+f(b)/2)+(b-a)*f(m)

Fehlt hier \(1/3(2 \cdot  \colorbox{#ffff00}{b-a}  /2(f(a)/2+f(m)+f(b)/2)+(b-a)\cdot f(m) \colorbox{#ffff00}{)}\) nicht eine Klammer und eine Klammer zu?

K=1/3(2S+T)

Was sind \(K\), \(S\) und \(T\)?

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K ist der Näherungswert von 2S und T, dabei ist S die Sehnentrapezregel die doppelt berechnet wird und T die Tangententrapezregel...

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Hast du mal gegoogled? z.B.hier: http://sneaker.cfg-hockenheim.de/referate/inhalt/fassvolumen/seiten/kepler-h.html

Answer 1

Hallo Erini,

fassen wir mal zusammen: Es gibt zwei Sehnentrapezstücke \(S_{1,2}\) und ein Tangententrapezstück \(T\) $$\begin{aligned} S_1 &= \frac 12 (b-a) \frac{f(a) + f(m)}{2} \\ S_2 &= \frac 12 (b-a) \frac{f(m) + f(b)}{2} \\ T &= (b-a) f(m)\end{aligned}$$Und \(S_1\) und \(S_2\) werden zu \(S\) addiert und sollen mit dem Faktor 2 gewichtet mit \(T\) zusammen zu \(K\) werden$$K = \frac 13 (2(S_1 + S_2) + T)$$Ich ziehe jetzt den Faktor \((b-a)/2\) gleich heraus$$\begin{aligned} K &= \frac 16 (b-a) \left( 2\left(\frac{f(a)+f(m)}{2}  + \frac{f(m)+f(b) }{2}\right) + 2f(m)\right) \\ &= \frac 16 (b-a) \left( f(a) + 2f(m) +f(b) + 2f(m) \right) \\&= \frac 16 (b-a) \left(f(a) + 4f(m) + f(b) \right)\end{aligned}$$