Nullstellen der 2. Ableitung berechnen. Brüche addieren

Question

Aufgabe:

folgendes habe ich mir bereits selbst abgeleitet:

$$ f_{k}'' = \frac{x*e^{\frac{x}{k}}}{k^{2}} + \frac{e^{\frac{x}{k}}}{k} $$

Nun will ich die Nullstellen berechnen. (Kurz nebenbei, mein Ziel ist es die Wendepunkte zu berechnen. Also erst habe ich die erste Ableitung, dann die zweite und nun bin ich gerade dabei die Nullstellen der zweiten auszurechnen um dann fortzufahren)

Problem/Ansatz:

Mein Ansatz sah wie folgt aus:

1. $$ \frac{e^{\frac{x}{k}}}{k} = -\frac{x*e^{\frac{x}{k}}}{k^{2}} $$

2. mit k multipliziert: $$ e^\frac{x}{k} = -\frac{x*e^{\frac{x}{k}}}{k} $$

3. So ab hier komme ich nicht weiter. Ich würde jetzt den "ln" nehmen um das x/k auf der einen Seite alleine stehen zu haben. Aber was passiert ab dieser Stelle mit dem Term auf der anderen Seite?

4. Der letzte Schritt wäre dann einfach noch mit k wieder zu multiplizieren um das x alleine zu stehen haben.

Wäre super wenn mir da jemand helfen könnte.

Answer 1

ausklammern und beide Faktoren 0 setzen ( e^A ≠ 0 !):

$$  \frac{x·e^{\frac{x}{k}}}{k^{2}} + \frac{e^{\frac{x}{k}}}{k} =0⇔\frac{e^{\frac{x}{k}}}{k}· (\frac{x}{k}+1)=0$$⇔  x/k + 1 = 0  ⇔ x = -k

Gruß Wolfgang

Comments

Aber wäre dann nicht noch eine Nullstelle 0. Weil wenn ich etwas mit 0 multipliziere wird es ja 0. Oder funktioniert das in dem Fall nicht wegen dem Term, der eben nicht null wird wenn ich null einsetze?

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Wenn du in den ganzen Term x=0  einsetzt, ist das Ergebnis

 f_k^"(0) = 1/k     [e⁰ = 1 !)]

Answer 2

du könntest \(\dfrac{e^{x/k}}{k}\) mit k erweitern (kgV), weshalb du dann zu der Form \(f''(x)=\dfrac{xe^{x/k}}{k^2}+\dfrac{e^{x/k}k}{k^2}=\dfrac{e^{x/k}(k+x)}{k^2}\) kommst.

Nullsetzen bedeutet in diesem Fall den Zähler nullsetzen, wobei wir hier den Satz vom Nullprodukt benutzen können:

\(k+x=0 \Rightarrow x=-k\)

Comments

"du könntest ... mit k multiplizieren" ist falsch.

Richtig wäre "mit k erweitern".

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Ich bin noch nicht ganz mitgekommen warum wir das jetzt machen konnten. Also du hast mit dem kleinsten gemeinsamen vielfachen multipliziert.

Unsere andere Seite bleibt gleich null da wir ja mit 0 multiplizieren.

Dann muss die andere Seite noch mit dem kgv erweitert werden.

Könntest du diesen Schritt mal im Detail erklären. Ich verstehe nicht warum das k am ende dann rangehängt wird

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Wenn wir mit k erweitern, musst man sowohl den Nenner als auch den Zähler damit erweitern. Das machen wir, damit beide Brüche den gemeinsamen Nenner besitzen und wir sie zu einem Bruch zusammenfassen können.