Zeige 4^n >= (2n über n), für n>=2^1001

Question

Zu zeigen sei:

\( 4^{n} \geq\left(\begin{array}{c}2 n \\ n\end{array}\right) \), für \( n \geq 2^{1001} \)

Ich habe nun 2 Ansätze

1.Ansatz:

\( 4^{n}=2^{n} \cdot 2^{n} \),
\( \left(\begin{array}{c}2 n \\ n\end{array}\right)=\left(\frac{(2 n) !}{n ! \cdot n !}\right) \)
\( \Leftrightarrow \frac{2^{n} n\left(n-\frac{1}{2}\right)\left(n-\frac{3}{2}\right) \ldots 0,5}{n !} \), also
\( 2^{n} \geq \frac{n(n-0,5)(n-1,5) \ldots 0,5}{n !} \)

2.Ansatz:

\( \left(\begin{array}{c}2 n \\ n\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2 n-1 \\ n-1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}2 n-1 \\ n\end{array}\right) \)

Kann mir jemand einen Hinweis geben, da mich dieses 2n über n am meisten verwirrt.

Answer 1

Hallo,

nach dem binomischen Lehrsatz gilt$$4^n=(1+1)^{2n}=\sum_{k=0}^{2n}{{2n} \choose {k}}\geq {{2n}\choose {n}}.$$
Das gilt sogar für alle natürlichen Zahlen n.

Gruß ermanus