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Zu zeigen sei:

4n(2nn) 4^{n} \geq\left(\begin{array}{c}2 n \\ n\end{array}\right) , für n21001 n \geq 2^{1001}


Ich habe nun 2 Ansätze

1.Ansatz:

4n=2n2n 4^{n}=2^{n} \cdot 2^{n} ,
(2nn)=((2n)!n!n!) \left(\begin{array}{c}2 n \\ n\end{array}\right)=\left(\frac{(2 n) !}{n ! \cdot n !}\right)
2nn(n12)(n32)0,5n! \Leftrightarrow \frac{2^{n} n\left(n-\frac{1}{2}\right)\left(n-\frac{3}{2}\right) \ldots 0,5}{n !} , also
2nn(n0,5)(n1,5)0,5n! 2^{n} \geq \frac{n(n-0,5)(n-1,5) \ldots 0,5}{n !}

2.Ansatz:

(2nn)=(2n1n1)+(2n1n) \left(\begin{array}{c}2 n \\ n\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2 n-1 \\ n-1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}2 n-1 \\ n\end{array}\right)

Kann mir jemand einen Hinweis geben, da mich dieses 2n über n am meisten verwirrt.

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Hallo,

nach dem binomischen Lehrsatz gilt4n=(1+1)2n=k=02n(2nk)(2nn).4^n=(1+1)^{2n}=\sum_{k=0}^{2n}{{2n} \choose {k}}\geq {{2n}\choose {n}}.
Das gilt sogar für alle natürlichen Zahlen n.

Gruß ermanus

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