Warum ist 2n über n immer größer als 2n über n+1?

Question

Aufgabe:

Hallo! Eine ganz dumme Frage! Warum ist 2n über n immer größer als 2n über n+1?

Problem/Ansatz:

Leider nicht vorhanden.

Comments

Es gilt \(\displaystyle\binom{2n}n=\binom{2n}{n+1}\cdot\left(1+\frac1n\right)\)  für alle \(n\in\mathbb N\).

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Schreibe beide terme hin und führe äquivanelzumformungen durch.

(2n über n) ??? (2n über n + 1)

(2n)! / (n! * n!) ??? (2n)! / ((n + 1)! * (n - 1)!)

(2n)! / (n! * n!) ??? (2n)! / (n! * (n + 1) * (n - 1)!)

1 / (n!) ??? 1 / ((n + 1) * (n - 1)!)

1 ??? n! / ((n + 1) * (n - 1)!)

1 ??? (n - 1)! * n / ((n + 1) * (n - 1)!)

1 ??? n / (n + 1)

1 > n / (n + 1)

Jetzt sehe ich das die linke Seite größer als die rechte ist. Daher muss das am Anfang auch so gewesen sein.

Answer 1

\(\frac{(2n)!}{n!n!}\gt \frac{(2n)!}{(n+1)!(n-1)!}\iff n!\cdot n!\lt (n+1)!\cdot (n-1)! \iff \)

\(\frac{n!}{(n-1)!}\lt \frac{(n+1)!}{n!} \iff n \lt n+1\).

Anschaulich:

Im Pascalschen Dreieck ist der mittlere Eintrag immer der größte auf der Zeile

für die geraden Exponenten.

Answer 2

(2n über n) = (2n)!/(n!*n!) = (2n)!/(n!)^2

(2n über n+1) =  (2n)!/((n+1)!*(n-1)!) = (2n)!*(n-1)/((n!*(n+1)*n!)) = (2n)!*(n-1)/((n!)^2(n+1))

Answer 3

\( \begin{array}{l} \left(\begin{array}{c} 2 n \\ n \end{array}\right)>\left(\begin{array}{c} 2 n \\ n+1 \end{array}\right) \\ n=5 \\ \left(\begin{array}{c} 2 \cdot 5 \\ 5 \end{array}\right)>\left(\begin{array}{c} 2 \cdot 5 \\ 5+1 \end{array}\right) \\ \left(\begin{array}{c} 10 \\ 5 \end{array}\right)>\left(\begin{array}{c} 10 \\ 6 \end{array}\right) \\ \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5}>\frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6} \end{array} \)
\( 9 \cdot 4 \cdot 7>10 \cdot 3 \cdot 7 \mid: 7 \)
\( 9 \cdot 4>10 \cdot 3 \mid: 3 \)
\( 3 \cdot 4>10 \)