Umformung beim Beweis der Konvergenz von 1/ n^2

Question

Aufgabe:

Beim Beweis von der Reihe 1/n^2 bin ich auf ein Problem gestoßen.  Ich verstehe nicht, wie man von 1/ ( k* (k-1)

auf 1 / k-1   -   1/k kommt ....

Problem/Ansatz:

$$ \begin{array} { l } { \sum _ { k = 1 } ^ { n } \frac { 1 } { k ^ { 2 } } \leq 1 + \sum _ { k = 2 } ^ { n } \frac { 1 } { k \cdot ( k - 1 ) } } \\ { = 1 + \sum _ { k = 2 } ^ { n } \frac { 1 } { k - 1 } - \frac { 1 } { k } } \\ { = 1 + 1 - \frac { 1 } { n } } \end{array} $$

Answer 1

Ich verstehe nicht, wie man von 1/ ( k· (k-1)) auf 1 / (k-1)  -  1/k kommt

Gehe den Weg nicht vorwärts sondern rückwärts: 1 / (k-1)  -  1/k  Auf den Hauptnenner bringen:

                                                                              k/(k·(k-1)) - (k -1)/(k·(k-1))

                                                                               (k-(k-1))/(k·(k-1))

                                                                                  1/ ( k· (k-1))

Comments

"Gehe den Weg nicht vorwärts sondern rückwärts:"

Damit kann man zwar nachvollziehen, dass die Umformung richtig war, aber vermutlich interessiert den Fragesteller mehr, wie man darauf gekommen ist.

Die Antwort darauf wäre: Man hat für den Term \(\frac{1}{k(k-1)}\) eine Partialbruchzerlegung durchgeführt.

Answer 2

Alternativ addiere im Zähler eine Null in Form von \(k-k\):$$\frac1{k(k-1)}=\frac{k-k+1}{k(k-1)}=\frac k{k(k-1)}-\frac{k-1}{k(k-1)}=\frac1{k-1}-\frac1k.$$