hier ein explizites N zu finden wird schwierig. Aber du kannst den Ausdruck nachoben abschätzen:
an=nnn!=nn⋅n(n−1)⋅n(n−2)⋅...⋅n1=1⋅n(n−1)⋅n(n−2)⋅...⋅n1=n(n−1)⋅n(n−2)⋅...⋅n1
Alle Ausdrücke bis auf n1 haben die obere Schranke 1.
Also kann man sagen, dass gilt:
0≤nnn!=n(n−1)⋅n(n−2)⋅...⋅n1≤1⋅1⋅...⋅n1=n1 und damit 0≤nnn!≤n1
Wegen n→∞limn1=0 gilt auch n→∞limnnn!=0
Es existiert fu¨r alle ϵ>0 eine natu¨rliche Zahl Nϵ, so dass fu¨r alle n≥Nϵ gilt : ∣an−0∣<ϵ
Beweis:
Sei ϵ>0 fest, aber beliebig. Dann ist : ∣an−0∣=∣an∣=∣∣∣∣∣∣nnn!∣∣∣∣∣∣≤∣∣∣∣∣∣n1∣∣∣∣∣∣≤Nϵ1<ϵ⇔Nϵ>ϵ1Weil n∈R gibt es nach dem Archimedischen Prinzipauch eine natu¨rliche Zahl Nϵ, so dassNϵ>n.