Zeige mittels Konvergenz-Beweis, dass n!/n^n konvergiert

Question

Hi, ich bekomme einfach keinen Beweis hin, könnt ihr mir etwas helfen, dass N>... zu finden, damit ich den Beweis schließen kann.

Es soll ja gelten

|n!/n^n-0| = |n!/n^n| =n!/n^n < Epsilon.

Comments

Vlt so hier?

n!/n^n

<=> n*(n-1)!/n^n<Epsilon |*n^n , :(n-1)!

<=> n<Epsilon*n^n/(n-1)!

mmh, eine das macht auch keinen Sinn.

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2.Versuch:

n!/n^n<Epsilon

<=> n!/n^{n-1}*n<Epsilon |*n

<=> n!/n^{n-1}<Epsilon*n | Epsilon

<=> n!/n^{n-1}*Epsilon<n

Würde es so gehen?

Also sei E > 0 beliebig. Nach dem archimedischen Axiom gibt es ein \( N \in N \) (natürliche Zahlen) mit \( \frac{n!}{ n^{ n-1 }* E } \lt N \), wobei n ≥ N gilt. Dann ist: \( \left| \frac { n! }{ { n }^{ n } } -0 \right| =\left| \frac { n! }{ { n }^{ n } } \right| =\frac { n! }{ { n }^{ n } } \lt E \)

Answer 1

hier ein explizites N zu finden wird schwierig. Aber du kannst den Ausdruck nachoben abschätzen:

$$ a_n=\frac{n!}{n^n}=\frac{n}{n}\cdot \frac{(n-1)}{n} \cdot \frac{(n-2)}{n}\cdot ...\cdot \frac{1}{n}=1\cdot \frac{(n-1)}{n} \cdot \frac{(n-2)}{n}\cdot ...\cdot \frac{1}{n}\\=\frac{(n-1)}{n} \cdot \frac{(n-2)}{n}\cdot ... \cdot \frac{1}{n} $$

Alle Ausdrücke bis auf $$ \frac{1}{n} $$ haben die obere Schranke 1.

Also kann man sagen, dass gilt:

$$ 0\leq \frac{n!}{n^n}=\frac{(n-1)}{n} \cdot \frac{(n-2)}{n}\cdot ... \cdot \frac{1}{n}\leq 1\cdot 1\cdot ...\cdot \frac{1}{n}=\frac{1}{n} $$ und damit $$ 0\leq \frac{n!}{n^n}\leq \frac{1}{n} $$

Wegen $$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}=0 $$ gilt auch $$ \lim_{n \to \infty} \frac{n!}{n^n}=0 $$

$$ \text{Es existiert für alle }\\\epsilon >0 \text{ eine natürliche Zahl } N_{\epsilon} \text{, so dass für alle }n \geq N_{\epsilon} \text{ gilt:}\\|a_n-0|<\epsilon $$

Beweis:

$$ \text{Sei } \epsilon>0 \text{ fest, aber beliebig. Dann ist:}\\ |a_n-0|=|a_n|=\Bigg |\frac{n!}{n^n} \Bigg |\leq \Bigg|\frac{1}{n}\Bigg| \leq\frac{1}{N_{\epsilon}}<\epsilon \Leftrightarrow N_{\epsilon}>\frac{1}{\epsilon}\\ \text{Weil } n \in \mathbb{R} \text{ gibt es nach dem Archimedischen Prinzip}\\ \text{auch eine natürliche Zahl } N_{\epsilon} \text{, so dass}\\ N_{\epsilon} > n. $$

Comments

Das ist natürlich sehr elegant, danke:)

Würde mein Versuch dort oben (gleich unter der Frage) auch gelten?

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Also wenn man weiß, was schneller wächst ja. Aber da du es ja nur mit bereits bekannten Mitteln machen sollst (glaube ich), wird deine Argumentation nicht gehen, weil du es ja nur hinschreibst, ohne es wirklich gezeigt zu haben.

Für solche Fälle, wie deiner es ist, hilft der sogenannte ,,Sandwichsatz'' weiter. (Mist jetzt hab ich hunger ^^). Du schätzt deine Folge einmal nachunten und nachoben ab. So kannst du dann auf dein Grenzwert kommen, oder zumindest wenigstens ein Bereich bekommen, wo dein Grenzwert liegen würde.

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Ah ok, stimmt und den hast du dort oben ja zum Teil angewendet richtig?

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Nicht nur zum Teil. Ok war vielleicht etwas versteckt formuliert. Aber ich habe für die obere Abschätzung $$ c_n=\frac{1}{n} $$ und für die untere dann $$ b_n=0 $$gewählt, da ja a_n offensichtlich immer positiv ist.

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Ah super, dann nur noch eine Frage, warum:

Weil n∈R gibt es nach dem Archimedischen Prinzip auch eine natürliche Zahl Nϵ, so dass Nϵ>n.

müsste es nicht n>=Nϵ sein?

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Und wenn ich nun noch ein n0 angeben soll , sodass  die Folgenglieder kleiner als ε := 10^−3 sind.

Muss ich einfach nur einsetzen N>1/10^-3=1000 und um eins erhöhen, also n0 =1001 richtig?

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Nein. Du nimmst ja n als die Zahl, wo ε unterschritten wird. Nun kann es aber sein, dass dieses n keine natürliche Zahl ist, sondern z.b eine rationale Zahl. Weil wir aber wissen, dass a_n fällt, können wir eine Zahl Nε nehmen, die natürlich ist. Und nach dem archimedischen Prinzip finden wird auch eine solche Zahl, die sogar natürlich ist, sodass sie größer als n ist. Hier hat n also eine andere Bedeutung.

Weil ich jetzt mein Nε gefunden habe, kann ich jetzt auch daher kommen und sagen für alle n≥Nε gilt |a_n-0|<ε.

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Und wenn ich nun noch ein n0 angeben soll , sodass  die Folgenglieder kleiner als ε := 10^−3 sind.

Muss ich einfach nur einsetzen N>1/10^-3=1000 und um eins erhöhen, also n0 =1001 richtig?

Geanu

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Und nach dem archimedischen Prinzip finden wird auch eine solche Zahl, die sogar natürlich ist, sodass sie größer als n ist. Hier hat n also eine andere Bedeutung

Achso, stimmt.

vlt hätte man die Variablen n anders nennen sollen, so kommt man ja etwas durcheinander:)

x!/x^x wäre schlauer gewesen, dann würde Nϵ>x gelten und es macht alles mehr Sinn:)

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$$\text{Es existiert für alle }\\\epsilon >0 \text{ eine natürliche Zahl } N_{\epsilon} \text{, so dass für alle }n \geq N_{\epsilon} \text{ gilt:}\\|a_n-0|<\epsilon\text{Sei } \epsilon>0 \text{ fest, aber beliebig. Dann ist:}\\ |a_n-0|=|a_n|=\Bigg |\frac{n!}{n^n} \Bigg |\leq \Bigg|\frac{1}{n}\Bigg| \leq\frac{1}{N_{\epsilon}}<\epsilon \Leftrightarrow N_{\epsilon}>\frac{1}{\epsilon}\\ \text{Weil } n \in \mathbb{R} \text{ gibt es nach dem Archimedischen Prinzip}\\ \text{auch eine natürliche Zahl } N_{\epsilon} \text{, so dass}\\ N_{\epsilon} > n.$$

ich hätte hierzu mal eine Frage, denn mir ist nicht klar, warum Nϵ>n gelten soll.

Wenn dies so wäre, dann würde die obere Abschätzung nicht funktionieren, oder?

P.S. Ich hoffe @hallo97 du siehst meine Frage hier noch:) Wollte mich eigentlich gestern hier noch Einmischen, hatte aber keine Zeit.

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du wirst zu jeder reellen Zahl n immer eine natürliche Zahl Nε finden, die größer als n ist (archimedisches Prinzip).

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Also das hat nichts mit der Ungleichung darüber zu tun?

Wenn nein wäre es dann nicht besser, es wie der Te zu schreiben,

Also:

Sei ϵ>0 fest, aber beliebig. Dann existiert nach dem Archimedischen Prinzip natürliche Zahl Nϵ mit Nϵ >1/ϵ , wobei gilt n>=Nϵ.

Dann ist: ...  qed.

? Hört sich mMn besser an, oder wäre es falsch?

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Ja stimmt, so kannst du es auch machen.

Answer 2

  Für Physiker ein ganz klarer Fall .   Du würdest ja sofort in Wiki nachsehen, wenn du nur wüsstest wo  ===>  Stirlingformel  .  Die ist also wirklich das A und O , wenn   es z.B. gilt, quasi_kontinuierliche Verteilungen abzuleiten nach n .

      n  !  /  n  ^  n  =  n  ^ 1/2   *  exp  (  -  n  )   |   ²       (  1a  )

  (  n  !  /  n  ^  n  )  ²  =  n  exp  (  -  2  n  )     (  1b  )

   Diktat für Formelsammlung, Regelheft und Spickzettel:

   " Die e-Funktion unterdrückt jedes Polynom. "

   Damit geht  das Quadrat der von dir gesuchten Größe gegen  Null .

Comments

Leider müsste ich diesen Spaß erst einmal Beweisen und dann muss der Beweis für die Konvergenz dennoch auf der klassischen Art und Weise erfolgen:)

Dennoch danke für den Tipp, wird mir früher oder später mal nützlich sein :)

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   Bringt Wiki etwa nicht die ganzen Konvergenzabschätzungen?  Und wenn du dich nur traust, deinen Assistenten zu fragen, wird er dir eine Antwort bestimmt nicht versagen .