Grenzwertberechnung mit LHospital und Grenzwertregel von reellwertigen Funktionen

Question

$$ \begin{array} { l } { = \lim _ { x \rightarrow 4 } \frac { - 2 x + 8 ^ { x ^ { 2 } } } { - x + 4 ^ { x } } \cdot \frac { \sqrt { 4 x - 7 } + \sqrt { 5 x - 11 } } { \sqrt { x } + \sqrt { 3 x - 8 } } } \\ { = 2 \cdot \frac { 3 + 3 } { 2 + 2 } } \end{array} $$

Beim erste Bruch darf ich wegen der Form 0/0 L´Hospital anwende. Durch welche Grenzwertregel kann ich den Grenzwert gegen 4 vom zweiten Term bestimmen?

Vielen Dank

Tim

Comments

Lautet die Aufgabe wirklich so?

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Also bei mir kommt nicht 0/0 raus.

Answer 1

bei den Wurzeln kannst du einfach x=4 einsetzen.

Comments

Ja aber wieso? Woher weiß ich, dass ich einfach einsetzen darf?

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Bei stetigen Funktionen gilt

lim x---> a f(x)= f(a)

Der Wurzelbruch ist in x=4 stetig, weil im Nenner keine 0 rauskommt und auch bei den Wurzeln keine negativen Argumente entstehen.

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Und wieso ist es am Anfang unstetig ? Die richtige Version vor dem mal sollte -2x+8 und -x+4 heißen.

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$$ f ( x ) = \frac { \sqrt { x } - \sqrt { 3 x - 8 } } { \sqrt { 4 x - 7 } - \sqrt { 5 x - 11 } } $$

Das hier ist die Ursprüngliche Aufgabe. Wieso kann ich nicht einfach direkt 2 einsetzen sondern muss das ganze erst umformen?

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Hier darfst du 4 nicht einsetzen, weil dann 0/0 steht. Ein undefininierter Ausdruck. Allerdings existiert

lim x---> 4 f(x), was man dem Term nicht unbedingt gleich ansieht. Daher macht man einen Termumformung mit der binomischen Formel und kommt auf dein Ergebnis. Dann kann man x=4 einsetzen, man hat die Nullstelle im Nenner "weggekürzt".

Answer 2

Durch welche Grenzwertregel kann ich den Grenzwert gegen 4 vom zweiten Term bestimmen?

Hier gibt es keine Regel, Du kannst einfach einsetzen.

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Warum darf ich das da, aber bei dem ersten Term nicht ?

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Lautet der 1.Term wirklich so?

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Der erste Term lautet richtig oben: -2x +8   und unten  -x + 4

Sorry