Konvergenz mittels Definition

Question

Sei {yn}  definiert durch :

Yn := \( \frac{ 1+n }{ n² -n +10 } \)

Untersuchen Sie die Folgen auf Monotonie, Beschränktheit und Konvergenz.
Wenn eine Folge konvergiert, zeigen Sie dies mittels der Definition von Konvergenz.

Also ich habe schon Monotonie, Beschränkheit und den Grenzwert gezeigt ( 0 ).

Nun söllte ich die Konvergenz mitttels der epsilon-n Definition zeigen, also:

| \( \frac{ 1+n }{ n2 -n +10 } \) - 0 | < espilon

Hab das probiert aber kommt mir einen komischen Wert raus ( 4epsilon^2 / 7 ).

Bitte hilfe und danke in Voraus

Answer 1

(1+n)/(n^2-n+10)

<2n/(n^2-n+10)

<2n/(n^2-n)

=2/(n-1)<epsilon

2<epsilon(n-1)

2/epsilon <n-1

2/epsilon +1 <n

Comments

ich habe eine Frage. Wann man eine Abschätzung machen will, sollen die Abschätzungen für jede n gelten?

 bzw. im diesem Fall n>=0. wenn Sie abschätzen (1. Abschätzung) n+1 < 2n,  diese Abschätzung gilt nicht für n=0.

Oder (3. Abschätzung) n^2-n+10 < n^2-n gibt uns ein 0 in Nenner für n=0 und n=1.

Muss mann darauf achten oder ist es egal? Wie funktioniert wirklich die Abschätzung?

Vielen Dank

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Du betrachtest ja den Grenzwertfall n--->oo. Die entsprechenden Abschätzungen müssen also nur für hinreichend große n gelten.

Daher ist es kein Problem, dass  n+1 < 2n für n=0 nicht gilt.

Wichtig ist, dass es für n >=1 gilt, also beliebig große n.

 Bei der dritten Abschätzung hast du dich vertan, es gilt

n^2-n+10>n^2-n |Kehrwert

1/(n^2-n+10)<1/(n^2-n)

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Vielen dank für die Antwort. was ich meinte bei 3. Abschätzung war, dass wenn wir n^2-n+10 diese ist >0 für alle n. Bei n^2-n diese ist =0 für n=0 und n=1.

("Wichtig ist, dass es für n >=1 gilt, also beliebig große n.")

können Sie mir bitte erklären warum für n=0 spielt das keine rolle, aber für n=1 schon?  Ich meine, wie kann ich mich weiter vorantreiben? Kann ich zum Beispiel eine Abschätzung vornehmen, die nur für n> = 30 oder 100 oder 1000 gilt?

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Für n=1 spielt es auch keine Rolle. Das sind nur abzählbar viele Stellen. Ich hatte vielleicht besser formuliert:

Dass es für alle n >=1 gilt, also beliebig große n.

Kann ich zum Beispiel eine Abschätzung vornehmen, die nur für n> = 30 oder 100 oder 1000 gilt

Ja, so eine Abschätzung kannst du auch finden oder konstruieren. Die ist dann lediglich gröber, aber wenn du sinnvoll schätzt, dann ändert das nichts am Grenzwert Verhalten. In der Regel wählt man Abschätzungen, die für möglichst kleine n schon erfüllt sind. Also wie bei mir oben ab n>=2 oder ähnlich.