Mit Definition von Konvergenz die Nullfolge

Question

Aufgabe

Zeige mir der Definition von Konvergenz das an eine Nullfolge ist

Problem/Ansatz:

Ich habe das mal versucht und als Ergebnis n_0>1/ε sofern meine Rechnung richtig ist

Aber was sagt mir das?

Text erkannt:

\( a_{n}=\frac{n+1}{n^{2}+2 n+1} \)

Answer 1

Hallo :-)

Nutze doch \(n^2+2n+1=(n+1)^2\) und kürze.

Dann hast du schonmal

$$ a_n=\frac{n+1}{n^2+2n+1}=\frac{1}{n+1} $$

Behauptung: \(\lim\limits_{n \to \infty} a_n=0\).

Die Definition der Konvergenz

\(\forall \varepsilon>0 \exists N_{\varepsilon} \in \mathbb{N} \forall n \geq N_{\varepsilon}:\left|a_{n}-a\right|<\varepsilon\)

Zwischenrechnung: Ich betrachte also zunächst

$$ \left|a_n-0\right|=\left|\frac{1}{n+1}-0\right|=\left|\frac{1}{n+1}\right|=\frac{1}{n+1}\leq \frac{1}{n}\stackrel{n\geq N_{\varepsilon}}{\leq} \frac{1}{N_{\varepsilon}}\stackrel{!}{<}\varepsilon.$$

Jetzt suche ich also noch in Abhängigkeit von \(\varepsilon>0\) ein \(N_{\varepsilon}\in \mathbb{N}\), sodass für alle \(n\geq N_{\varepsilon}\) die Abschätzung \(\frac{1}{N_{\varepsilon}}<\varepsilon\) gilt. Also forme ich die Ungleichung \(\frac{1}{N_{\varepsilon}}<\varepsilon\) zu \(\frac{1}{\varepsilon}<N_{\varepsilon}\) um. \(\frac{1}{\varepsilon}\) ist reell. Nach dem Archimedischen Prinzip finde ich also eine Zahl \(N_{\varepsilon}\in \mathbb{N}\), sodass \(\frac{1}{\varepsilon}<N_{\varepsilon}\) gilt.

Das war jetzt alles Schmierarbeit, um an \(N_{\varepsilon}\) heranzukommen. Im Prinzip schätzt du die Differenz \(|a_n-a|\) solange nachoben ab, bis du einen einfachen Ausdruck gefunden hast und du musst nur noch eine Ungleichung lösen.

Jetzt setzt man das Alles nur noch zusammen:

Beweis: Sei \(\varepsilon>0\) beliebig und wähle \(N_{\varepsilon}\in \mathbb{N}\) nach dem Archimedischen Prinzip so, sodass \(N_{\varepsilon}>\frac{1}{\varepsilon}\) gilt. Dann gilt für alle \(n\geq N_{\varepsilon}\)$$ \left|a_n-0\right|=\left|\frac{1}{n+1}-0\right|=\left|\frac{1}{n+1}\right|=\frac{1}{n+1}\leq \frac{1}{n}\stackrel{n\geq N_{\varepsilon}}{\leq} \frac{1}{N_{\varepsilon}}\stackrel{N_{\varepsilon}>\frac{1}{\varepsilon}}{<}\varepsilon.$$

Da \(\varepsilon>0\) beliebig war, folgt \(\lim\limits_{n \to \infty} a_n=0\).

Comments

Aber ich soll anhand der Definition zeigen, dass an eine Nullfolge ist und ich würde gerne auch verstehen was mir mein Ergebnis genau sagt :))

In einer vorherigen Aufgabe habe ich den Grenzwert schon bestimmt in dem ich anhand der binomischen Formel gekürzt habe

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Habs dir mal angepasst hingeschrieben.

Answer 2

Aloha :)

Wir wollen zeigen, dass die Folge$$a_n=\frac{n+1}{n+2n+1}=\frac{n+1}{(n+1)^2}=\frac{1}{n+1}$$den Grenzwert \(a=0\) hat. Dazu wählen wir ein \(\varepsilon>0\) beliebig aus und suchen ein \(n_0\in\mathbb N\), sodass für alle \(n\ge n_0\) gilt:$$\left|a_n-a\right|=\left|\frac{1}{n+1}-0\right|=\frac{1}{n+1}<\frac1n\stackrel!<\varepsilon$$

Wir prüfen, für welche \(n\) die Forderung erfüllt wird:$$\frac1n<\varepsilon\implies n>\frac1\varepsilon\implies n\ge n_0\coloneqq\left\lceil\frac{1}{\varepsilon}\right\rceil$$

Für jedes \(\varepsilon>0\) lässt sich also ein \(n_0\coloneqq\left\lceil\frac{1}{\varepsilon}\right\rceil\) finden, sodass für alle \(n\ge n_0\) gilt:$$|a_n-0|<\varepsilon$$Daher konvergiert die Folge gegen \(0\).