Integration durch Substitution

Question

Aufgabe:

$$\int_{a}^{b} sinx * cos x$$ soll integriert werden.

Problem/Ansatz:

Meiner Meinung nach bietet sich hier die Integration per Substitution an. Ich habe sin x= u gesetzt und $$dx=\frac{du}{cos x}$$

ermittelt. Wodurch sich das ganze dann zu $$\int_{}^{}u*du$$ . Was dann meiner Meinung nach sin² x + C ergeben sollte.

Allerdings ist laut Integrationsrechner im Internet das Ergebnis:
$$\frac{1}{2}sin²x +C$$

und ich verstehe nicht wo die 0,5 herkommt.

Ich hoffe mir könnte jemand helfen.

Mfg

Answer 1

Wenn du u integrierst wird es zu 1/2*u^2, weil die Ableitung von 1/2*u^2 wieder u ist.

∫ SIN(x)·COS(x) dx

Subst. SIN(x) = z
COS(x) dx = 1 dz
dx = 1/COS(x) dz

∫ z·COS(x) · 1/COS(x) dz
∫ z dz
1/2·z^2 + C

Resubst.

1/2·(SIN(x))^2 + C

Hilfreiche Links
https://www.massmatics.de/merkzettel/#!102:Die_Potenzregel_der_Integration

Answer 2

∫ u du

=u^2/2 +C

=(1/2) sin^2(x) +C

Comments

Aber warum durch 2? Den Rechenschritt kann ich nicht nachvollziehen

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Genau das habe ich schon im Integrationsrechner nicht verstanden, ich kann den Schritt nicht nachvollziehen

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∫u du

=∫u^1 du

->n=1

das wird dann in die allgemeine Formel eingesetzt.

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Überlege dir was du differenzieren musst um x^n zu erhalten.

[1/(n+1) * x^(n+1)]' = x^n

Zumindest für n ≠ -1

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ich hab ihm doch alles erklärt ......

Answer 3

wenn du u integrierst, erhältst du \(\dfrac{1}{2}u^2\).

Comments

Ah natürlich,danke. Aber was passiert mit du dann? Das wird ja noch mit den von dir geschriebenen Ausdruck multipliziert?

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Also,

bei dir gilt: \(u=\cos(x),\, du=-\sin(x)dx\)

Also folgt: \(-\displaystyle\int u\, dx=-\dfrac{u^2}{2}+C\) und nach Rücksubstitution dann \(-\dfrac{\sin^2(x)}{2}+C\)

Answer 4

Versuchs mit Produktintegration:

u=sinx   u'=cosx

v'=cosx  u=sinx

Dein Integral=sinx·sinx - dein Integral

2·dein Integral=sin²x.

Answer 5

... oder wisse, dass sin(x)*cos(x)=0,5sin(2x) gilt.

Dann ist eine Stammfunktion die Funktion F(x)= -0,25cos(2x).