Darstellungsmatrix bestimmen

Question

Aufgabe:

i) Es seien die zwei Vektoren aus dem R² gegeben.

a1 = \( \begin{pmatrix} -1\\1 \end{pmatrix} \), a2 = \( \begin{pmatrix} 1\\2 \end{pmatrix} \)

Es sei g: R² -> R eine lineare Abbildung, so dass gilt g(a1) = 5 und g(a2) = 1. Gebe seine Darstellungsmatrix M (g) von g an (also die Matrix M(g), für die gilt: g(x) = M (g) * x für alle x ∈ R²).

ii) Berechne den Kern (M(g). 

Problem/Ansatz:

zu i) Also für die Darstellungsmatrix berechnet man ja die Bilder von den Einheitsvektoren und schreibt diese als span einer Matrix.

g (a1) = (x,y) = \( \begin{pmatrix} -1\\1 \end{pmatrix} \) => x - y = 5

g (a2) = (x,y) = \( \begin{pmatrix} 1\\2 \end{pmatrix} \) => x + 2 y = 1

zu ii) Gleichungsystem mit den Zeilen der Abbildungsmatrix lösen udn dann die Werte für x und y mit Lambda multiplizieren

Answer 1

hey also -1x + 1y = 5

              1x + 2y = 1

wenn du es löst kommst du auf (-3

                                                     2). Das ist die Darstellungsmatrix da R2 -> R geht. d.h. es ist ein dimensionaler Vektor. Das ist schon die Lösung also die Darstellungsmatrix. :)

... WEißt du vielleicht wie man jetzt den Kern der Darstellungsmatrix berechnen kann?? :D

Comments

Chefkoch, wie kommst du denn auf (3, 2). Wenn man das LGS löst, komm ich immer nur auf x = 11/3 und y = -4/3?

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also -1 + 1 = 5

         1 +2 = 1  | II + I

=>  -1   1   = 5

       0   3    = 6

d.h. 3y = 6 und somit y = 2

jetzt in I einsetzen. => -1x+1(2) = 5

                                     -1x = 5-2 => -1x = 3 | : (-1)

                                                       x = -3

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https://www.wolframalpha.com/input/?i=x+-+y+%3D+5,++x+%2B+2+y+%3D+1

Was genau macht ihr da?

LGS lösen?

@Marceline: Kannst du Latex in der zweiten Zeile so schreiben, dass es umgewandelt wird?

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Input sollte doch -1x +1y =5 sein.

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D.h. Marceline hatte bei g(a1) einen Druckfehler (?) .

 x - y = 5

steht dort.

Habe nun die Rechnung von tsukiya von der andern Antwort getrennt. (Dort Folgefehler)

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WEißt du vielleicht wie man jetzt den Kern der Darstellungsmatrix berechnen kann?? :D

Ansatz

M * (x | y) = 0

Alle Vektoren ( x| y) die diese Gleichung erfüllen, bilden zusammen den Kern der Abbildung.

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Tsukiya, Da \( \begin{pmatrix} -3\\2\end{pmatrix} \) die Darstellungsmatrix ist und die Gleichung

-3 * a + 2 * b  = 0

für a = 2 und b = 3 erfüllt ist, würd' ich sagen, der Kern ist

Kern = { λ * \( \begin{pmatrix} 2\\3\end{pmatrix} \) , wobei λ ∈ R}

Answer 2

Bist du schon mal auf die Idee gekommen, das von dir aufgestellte Gleichungssystem

x - y = 5
x + 2 y = 1

zu lösen?

Comments

x = \( \frac{11}{3} \) und y = - \( \frac{4}{3} \) . Aber das hilft leider nich' weiter. :(