Injektive Abbildung vom ℝ^n -> ℝ^m, die im ℝ^n linear unabhängig ist, dann auch im ℝ^m linear unabhängig

Question

Aufgabe:

Sei f: ℝⁿ -> ℝ^m eine injektive lineare Abbildung und seien die Vektoren x₁, x₂,...,x_s ∈ ℝⁿ linear unabhängig. Zeige, dass die Vektoren f (x₁), f (x₂), ..., f(x_s) ∈ ℝ^m ebenfalls linear unabhängig sind.

Problem/Ansatz:

Die Vektoren x₁, x₂,...x_s sind linear unabhängig. Da im Rⁿ aber nur ein n-dimensionaler Raum aufgespannt werden kann, sind die Vektoren im R^m ebenfalls linear unabhängig und somit f(x₁), f(x₂),..f(x_s) linear unabhängig. (Ok, das ist eigentlich nur die Aufgabenstellung umgeschrieben, um zu vertuschen, dass ich keinen guten Ansatz habe) :( Aber wenn das Urbild x unabhängig ist, dann muss doch auch das Bild f(x) unabhängig sein.

Answer 1

Zeige, dass die Vektoren f (x1), f (x2), ..., f(xs) ∈ ℝm ebenfalls linear unabhängig sind.

Verwende die Definition und

betrachte dazu a1* f (x1) + a2* f (x2) + ...as* f(xs)  = 0

wegen der Linearität

<=>   f (   a1*  x1 + a2* x2 + ...as* xs)  = 0

wegen der Injektivität ( Es ist ja f(0)=0 )

 ==>       a1*  x1 + a2* x2 + ...as* xs = 0

und wegen der lin. Unabh. der xi also

x1=x20...=xs=0

==>    f (x1), f (x2), ..., f(xs)  linear unabhängig .  q.e.d.