Problem beim Umformen eines Bruches mit n

Question

Problem:

Aus einem Induktionsbeweis ergibt sich folgender Bruch bei mir. Der Bruch soll am Ende den 3. Bruch ergeben. Ich kann leider überhaupt nicht nachvollziehen, wie der Bruch im 2. Schritt umgeformt wird.

\( \frac{n(n+1)(2n+1)+6(n+1)^2}{6} \)

Umformung laut Musterlösung:

\( \frac{(n+1)(n(2n+1))+6(n+1)}{6} \)

Soll werden zu:

\( \frac{(n+1)(n+2)+(2n+3 )}{6} \)

Ansatz:

Ich habe probiert 6(n+1)^2 umzuformen nach der bino. Formel und dann auszuklammer, leider ergibt das auch nix sinnvolles.
\( \frac{n((n+1)(2n+1)+(6n+12+6/n))}{6} \)

Comments

@Roland hat Recht in der Lösung steht auch * statt +

soll werden zu:

\( \frac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6} \)

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Hier hatten wir schonmal etwas ähnliches 609232

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@Larry genau das ist der Rest der Aufgabe. Ist aber keine Kommilitone von mir :D Die Aufgabe ist von Dezember und ich habs mir nochmal für die Klausur angeschaut.

Answer 1

Die Umformung laut Musterlösung entsteht durch Ausklammern von n+1, Dann wird aber die Klammer an der falschen Stelle geschlossen, Im Zähler müsste stehen: (n+1)[n(2n+1)+6(n+1)] und die eckige Klammer [n(2n+1)+6(n+1)]=2n²+n+6n+6=2n²+7n+6 lässt suich zerlegen in (2n+3)(n+2). In den Zähler es Endergebnisses gehört also ein Malpunkt an Stelle des Pluszeichens.

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Danke für die Antwort und den Hinweis auf das Ausklammern von n+1. Die Klammer aus der Umformung steht in der Lösung tasächlich falsch. Das Pluszeiche aus dem Endergebniss hatte ich falsch abgetippt.

Answer 2

setzt man in deine 3 ersten Brüche n=1 ein, ergeben sich die Werte  5, 3 und 11/6

(n·(n + 1)·(2·n + 1) + 6·(n + 1)^2) / 6  =  5

((n + 1)·(n·(2·n + 1)) + 6·(n + 1)) / 6  = 3

((n + 1)·(n + 2) + (2·n + 3)) / 6 = 11/6 

Keine 2 dieser Brüche können also gleichwertig sein.

Gruß Wolfgang

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Einsetzten hätte ich auch ausprobieren sollen, dann hätte ich gesehen dass die Musterlösung nicht ganz stimmt. Roland hat die Fehler gefunden.