Tangentensteigung mit Limes

Question

Aufgabe:

An welchen Stellen hat der Graph der Funktion f die Steigung m .

Dies soll berechntet werden

1/4 x^3 -2  ; m= 3

Problem/Ansatz:

Wie soll man das machen 

Answer 1

\(\lim\limits_{h \to 0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim\limits_{h \to 0}\dfrac{\left(\dfrac{(x+h)^3}{4}-2\right)-\left(\dfrac{x^3}{4}-2\right )}{h}=\dfrac{3x^2}{4}\)

Steigung soll drei entsprechen, also Funktion gleich 3 setzen:

\(\dfrac{3x^2}{4}=3 \longrightarrow x_{1,2}=\pm2\)

Comments

Kannst du nochmal erklären wie du auf (3 x²/4) gekommen bist ?

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Wenn du die Terme mit hoch-3 ausmultiplizierst, erhältst du für den Zähler:

\(\left(\left(\dfrac{h^3}{4} + \dfrac{3 h^2 x}{4} + \dfrac{3 h x^2}{4} + \dfrac{x^3}{4} \right) -2\right)-\left(\dfrac{x^3}{4}-2 \right)\).

Die "-2" entfallen, da -2-(-2)=-2+2=0, außerdem eliminieren sich \(\dfrac{x^3}{4}\), es gleibt über:

\(\lim\limits_{h \to 0}\dfrac{\left(\dfrac{h^3}{4} + \dfrac{3 h^2 x}{4} + \dfrac{3 h x^2}{4} \right)}{h} \), wobei der erste Summand im Zähler "entfällt", es verbleibt \(\dfrac{3h^2x}{4}+\dfrac{3hx^2}{4}=\dfrac{3h^2x+3hx^2}{4}\), dies können wir ausklammern zu \(\dfrac{3}{4}x(h+x)\), wobei, wenn h gegen null läuft, \(\dfrac{3}{4}x(x)=\dfrac{3}{4}x^2\) übrig bleibt.

Answer 2

Falls die Aufgabe lautet:

y=(1/4) x^3-2

Berechne y '=m

y'=  (3/4) *x^2 =3 |*4

3 x^2=12

x^2=4

x_1.2=± 2