Aloha :)
zu a) Zum Punkt \(P(x_0|f(x_0)\) nehmen wir einen zweiten Punkt \(Q(x_0+h|f(x_0+h)\) hinzu und bestimmen zunächst die Sekanten-Steigung zwischen diesen beiden Punkten.$$m(h)=\frac{y_Q-y_P}{x_Q-x_P}=\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{(x_0+h)-x_0}=\frac{\overbrace{(2(x_0+h)^3+2)}^{=f(x_0+h)}-\overbrace{(2x_0^3+2)}^{=f(x_0)}}{h}$$$$\phantom{m(h)}=\frac{2(x_0+h)^3-2x_0^3}{h}=\frac{2(x_0^3+3x_0^2h+3x_0h^2+h^3)-2x_0^3}{h}$$$$\phantom{m(h)}=\frac{2x_0^3+6x_0^2h+6x_0h^2+2h^3-2x_0^3}{h}=\frac{6x_0^2h+6x_0h^2+2h^3}{h}$$$$\phantom{m(h)}=6x_0^2+6x_0h+2h^2$$
Nun lassen wir den Punkt \(Q\) auf den Punkt \(P\) zulaufen, indem wir den Grenzwert \(h\to0\) bilden. Damit erhalten wir die Steigung \(m_t\) der Tangenten im Punkt \(P(x_0|f(x_0))\):$$m_t=\lim\limits_{h\to0}m(h)=\lim\limits_{h\to0}\left(6x_0^2+6x_0h+2h^2\right)=6x_0^2$$
zu b) Wir erkennen sofort, dass \(m_t=6\) für \(x_0=\pm1\) gilt. Es gibt also 2 Punkt mit der Steigung \(6\):$$S_1(-1|0)\quad;\quad S_2(1|4)$$
