Polarform bei Komplexen Zahlen

Question

Aufgabe:

$$ z ^ { 3 } = ( - 1 ) \cdot ( \cos ( 0 ) + i \cdot \sin ( 0 ) ) = ( \cos ( \pi ) + i \cdot \sin ( \pi ) ) \cdot ( \cos ( 0 ) + i \sin ( 0 ) ) $$

Problem/Ansatz:

Wie kommt man auf diese Umformung?

Am Ende steht da = cos(Pi) + i* sin(pi) Aber was bringt mir das? Man soll damit weiter komplexe Potenzen Wurzeln ziehen.

Comments

Wie lautet die Aufgabe?

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z^3 +  ( 1/2 + sqrt(3) / 2i )^126 = 0

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Hallo

 diese Aufgabe wurde grade in nem anderen thread beantwortet, deine Aufgabe im 1. post steht  z^3=-1,  denn cos(0)=1, sin(0)=0

da sin(pi)=0 und cos(pi)=-1 kann man -1 auch schreiben.

-1=cos(pi)+isin(pi)

das hat aber mit der Aufgabe, die du jetzt schreibst nichts zu tun???

Gruß lul

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Einmal hab ich sie gerechnet indem ich die Produktform genommen habe, in der anderen als cos +i*sin geschrieben. Hier ging es eigentlich nicht um die Aufgabe, sondern um die Form cos+i*sin. Und ich hab jetzt auch verstanden wieso man das so schreiben kann.

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Hallo

 dann solltest du deine Fragen klarer stellen!!

lul

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Ich hab ja auch nur nach der Umformung gefragt. Sorry :)

Answer 1

Erster Faktor hinter dem zweiten Gleichheitszeichen: cos(π)+i·sin(π)= - 1+ i·0 = -1

Der zweite Faktor ist hinter dem ersten und dem zweiten Gleichheitszeichen gleich.

Answer 2

Am Ende steht da = cos(Pi) + i* sin(pi) Aber was bringt mir das? Man soll damit weiter komplexe Potenzen Wurzeln ziehen.

Anscheinend sollst du die dritten Wurzeln von -1 bestimmen. Ansatz: z^3 = - 1 lösen.

Du hast nun z^3 = cos(pi) + i*sin(pi) . Das kannst du in Polarform schreiben.

z^3 = -1

z^3 = e^(i * pi)

z^3 = 1 * e^(i*pi)

Nun kannst du die dritten Wurzeln von -1 hinschreiben (in Polarform)

z1 = ³√(1) * e^(i*pi/3)

z2 = ³√(1) * e^(i*(pi/3 + 2pi/3))

z3 =  ³√(1) * e^(i*(pi/3 + 4pi/3))

oder vereinfacht

z1 =  e^(i*pi/3)
z2 =  e^(i*(pi/3 + 2pi/3))
z3 =  e^(i*(pi/3 + 4pi/3))

und nun wieder mit sinus und cosinus von diesen Winkeln in die kartesische Darstellung umwandeln, falls das auch noch verlangt ist.

sin(60°) und cos(60°) sind so einfach, dass meist verlangt wird, dass man auswendig weiss, was herauskommt.

Comments

Deine Fragestellung ist auch mir schleierhaft.

Wenn ihr die dritten Wurzeln aus -1 braucht, könnt ihr ja am Zeiger im Einheitskreis direkt ablesen, dass

z^3 = cos(pi) + i * sin(pi) = e^(i*pi)