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Aufgabe:

$$ z ^ { 3 } = ( - 1 ) \cdot ( \cos ( 0 ) + i \cdot \sin ( 0 ) ) = ( \cos ( \pi ) + i \cdot \sin ( \pi ) ) \cdot ( \cos ( 0 ) + i \sin ( 0 ) ) $$


Problem/Ansatz:

Wie kommt man auf diese Umformung?


Am Ende steht da = cos(Pi) + i* sin(pi) Aber was bringt mir das? Man soll damit weiter komplexe Potenzen Wurzeln ziehen.

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Wie lautet die Aufgabe?

z^3 +  ( 1/2 + sqrt(3) / 2i )^126 = 0

Hallo

 diese Aufgabe wurde grade in nem anderen thread beantwortet, deine Aufgabe im 1. post steht  z^3=-1,  denn cos(0)=1, sin(0)=0

da sin(pi)=0 und cos(pi)=-1 kann man -1 auch schreiben.

-1=cos(pi)+isin(pi)

das hat aber mit der Aufgabe, die du jetzt schreibst nichts zu tun???

Gruß lul

Einmal hab ich sie gerechnet indem ich die Produktform genommen habe, in der anderen als cos +i*sin geschrieben. Hier ging es eigentlich nicht um die Aufgabe, sondern um die Form cos+i*sin. Und ich hab jetzt auch verstanden wieso man das so schreiben kann.

Hallo

 dann solltest du deine Fragen klarer stellen!!

lul

Ich hab ja auch nur nach der Umformung gefragt. Sorry :)

2 Antworten

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Erster Faktor hinter dem zweiten Gleichheitszeichen: cos(π)+i·sin(π)= - 1+ i·0 = -1

Der zweite Faktor ist hinter dem ersten und dem zweiten Gleichheitszeichen gleich.

Avatar von 123 k 🚀
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Am Ende steht da = cos(Pi) + i* sin(pi) Aber was bringt mir das? Man soll damit weiter komplexe Potenzen Wurzeln ziehen.

Anscheinend sollst du die dritten Wurzeln von -1 bestimmen. Ansatz: z^3 = - 1 lösen.

Du hast nun z^3 = cos(pi) + i*sin(pi) . Das kannst du in Polarform schreiben.

z^3 = -1

z^3 = e^(i * pi)

z^3 = 1 * e^(i*pi)

Nun kannst du die dritten Wurzeln von -1 hinschreiben (in Polarform)

z1 = ³√(1) * e^(i*pi/3)

z2 = ³√(1) * e^(i*(pi/3 + 2pi/3))

z3 =  ³√(1) * e^(i*(pi/3 + 4pi/3))

oder vereinfacht

z1 =  e^(i*pi/3)
z2 =  e^(i*(pi/3 + 2pi/3))
z3 =  e^(i*(pi/3 + 4pi/3))

und nun wieder mit sinus und cosinus von diesen Winkeln in die kartesische Darstellung umwandeln, falls das auch noch verlangt ist.

sin(60°) und cos(60°) sind so einfach, dass meist verlangt wird, dass man auswendig weiss, was herauskommt.

Avatar von 162 k 🚀

Deine Fragestellung ist auch mir schleierhaft.

Wenn ihr die dritten Wurzeln aus -1 braucht, könnt ihr ja am Zeiger im Einheitskreis direkt ablesen, dass

z^3 = cos(pi) + i * sin(pi) = e^(i*pi)

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