Taylorpolynom von Integralfunktion bestimmen

Question

Aufgabe: Bestimme das Taylorpolynom 2. Grades von der Funktion f(x)=  ∫ e^(t^2) dt (obere Grenze   -x+3 und untere Grenze 2) für den Entwicklungspunkt x₀=1

Problem/Ansatz:

Mir ist schon klar wie ich vorgehen muss um den Taylorpolynom zu bestimmen, weiß aber nicht wie ich die Ableitung der Integralfunktion bestimmen kann, braucht man dafür die Stammfunktion und danach F(-x+3) - F(2) ausrechnen ? Oder wie geht das ?

Answer 1

Will man eine Integralfunktion wie $$ f(x) = \int_a^{x} { {u(t)} \text{ d}t } $$ ableiten, so muss das Integral nicht ausgewertet werden. Die Ableitung lautet $$ f'(x) = u(x). $$

Zusammen mit der Kettenregel ergibt sich für Integralfunktionen der Form $$ f(x) = \int_a^{v(x)} { {u(t)} \text{ d}t } $$die Ableitung $$ f'(x) = v'(x)\cdot u(x). $$

Für die hier vorliegende Funktion $$ f(x) = \int_2^{3-x} { e^{t^2} \text{ d}t } $$also einfach $$f'(x) = -e^{(3-x)^2}.$$

Comments

Vielen Dank schon mal für die Antwort !

Eine Frage hätte ich dann noch. Wie sollte man vorgehen wenn die untere Grenze z.B. keine Konstante wäre, wie in dem Fall eine Zahl , sondern von x abhängig ?

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Wie sollte man vorgehen, wenn die untere Grenze z. B. keine Konstante wäre, wie in diesem Fall eine Zahl, sondern von x abhängt?

Allgemein würde ich es so machen: $$ f(x) = \int_{a(x)}^{b(x)} { u(t) \text{ d}t } = \int_{c}^{b(x)} { u(t) \text{ d}t } - \int_{c}^{a(x)} { u(t) \text{ d}t }\\[0.8 cm] f'(x) = b'(x)\cdot u(x)-a'(x)\cdot u(x) = \left(b'(x)-a'(x)\right)\cdot u(x) $$

Answer 2

weiß aber nicht wie ich die Ableitung der Integralfunktion bestimmen kann,

braucht man dafür die Stammfunktion und danach F(-x+3) - F(2) ausrechnen ?

Das Problem ist aber, dass man eine Stammfunktion hier nicht unmittelbar

durch Anwendung bekannter Funktionen angeben kann.

ABER:  Jede Stammfunktion F(t)  hat als Ableitung  F ' (t) = e^(t^2) , also

ist  f ' (x) =  die Ableitung von  ( F (-x+3) - F(2) )

              = F ' (-x+3)

             = - e^((-x+3)^2)

    und du brauchst ja die Ableitung an der Stelle 1, also

f ' (1) = -e^4

f ' ' (x) = Ableitung von (   -e^((-x+3)^2) - e^4 )    )  =  2(-x+3) *  e^((-x+3)^2)

f ' ' (1) = 4*e^4

Also ist das Taylorpolynom  2. Grades    T(x,1) = 0 -e^4*(x-1) +4e^4 * (x-1)^2

Comments

Ist F(2) nicht konsatnt und daher F'(2)=0? Woher kommt also das e^4?

Weiter muss für F(-x+3) doch die Kettenregel verwendet werden, oder?

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Ach so, da ist was dran. Dann wäre es wohl

F ' (-x+3)

= - f(-x+3)

= -e^((-x+3)^2)

Das passt dann auch zu Rolands Antwort.

Answer 3

∫ e^(t²) findest du nicht  mit den bekannten Integrationsverfahren. In einer guten Formelsammlung findest du die Stammfunktion -√π·i·erf(i·t)/2. Darin bezeichnet "erf" die sogenannte "Errorfunktion". Das Einsetzen der Grenzen sowie das anschließende Ableiten beantwortet ein gutes Algebra-System mit  -e^(x²-6x+9).