Kurvenanpassung (Polynomfunktion) und logistisches Wachstum

Question

Aufgabe:

Ein logistisches Wachstum ist gekennzeichnet durch folgende Angaben:

Anfangsbestand A=10

Sättigungsgrenze S=200

Für x=50 ist die Grenze nahezu erreicht. Wendepunkt P: (14,7|100)


a) Begründen Sie, dass es zwar eine Polynomfunktion p mit p(x)=a*x² + bx + c gibt, deren graph durch die drei gegebenen Punkte verläuft, die aber nicht geeignet ist, den Wachstumprozess zu beschreiben.

b) Bestimmen Sie eine geeignete Polynomfunktion k fünften Grades, deren Graph durch die drei gegebenen Punkte verläuft.

c) Bestimmen Sie eine Funktion f in der Form $$f(t)=\frac{A*S}{A+(S-A)*e^{-k*S*t}}$$ deren Graph durch die drei gegebenen Punkte verläuft.

d) Vergleichen Sie die drei Funktionen (p,k und f) miteinander und notieren Sie Gemeinsamkeiten sowie Unterschiede der Graphen.

Problem/Ansatz:

zu a) hätte ich noch eine Grundidee, wie ich den Graphen zeichne würde. Dabei würde ich ja erkennen, dass dieser Graph dann nicht den typischen Verlauf einer logistischen Wachstumfunktion hat.

zu b), c) und d) habe ich jedoch überhaupt keine Idee.

Über Anregungen und Hilfe würde ich mich sehr freuen

Answer 1

zu a) Zeichnung wird wohl nicht genügen.

Besser setzt du die Punkte (0;10) ; (14,7;100) und (50;200)

ein in  y =  ax^2 + bx + c  uind zeigst, dass es eine

Lösung für a,b,c  gibt.

Und wenn man dieses Polynom für große Werte von x betrachtet, sieht

man, dass es das logistische Wachstum nicht beschreibt.

Bei b) könntest du außer den Punkten noch die

Steigungen im 1. und im 3. Punkt als 0 annehmen und f ' ' (14,7)=0

wegen Wendepunkt.

Und bei c) setzt du einfach die Werte von A und S ein, das gibt

$$f(t)=\frac{2000}{10+190*e^{-k*200*t}}$$

und dann f(14,7) = 100 einsetzen um k zu berechnen, gibt k=0,001002

Also sieht der Graph passender so aus

~plot~ 2000/(10+190*exp(-0,001*200*x));[[0|100|0|220]] ~plot~

Comments

danke, konnte ich gut umsetzen

Answer 2

Begründen Sie, dass es zwar eine Polynomfunktion p mit p(x)=a*x² + bx + c gibt, deren graph durch die drei gegebenen Punkte verläuft,

Eine solche Polynomfunktion gibt es immer, wenn die Punkte unterschiedliche x-Koordinaten haben.

die aber nicht geeignet ist, den Wachstumprozess zu beschreiben.

Polynomfunktionen vom Grad ≤ 2 haben keinen Wendepunkt.

Bestimmen Sie eine geeignete Polynomfunktion k fünften Grades, deren Graph durch die drei gegebenen Punkte verläuft.

Sei

(1)        k(t) = at⁵ + bt⁴ + ct³ + dt² + et + f

Löse das Gleichungssystem

        k(0) = 20
        k(14.7) = 100
        k(50) = 200
        k''(14.7) = 0
        k'(0) = 0
        k'(50) = 0

und setze die Llösung in (1) ein.