In der Algebravorlesung lernt man zur Not noch folgende Alternative:
Entweder ein kubistisches Polynom spaltet eine rationale Wurzel ab, oder es ist das ===> Minimalpolynom seiner Wurzeln ( so wie hier )
Schon mal vom ===> Satz von der rationalen Nullstelle ( SRN ) gehört? Da wärst du der erste ...
( Obwohl er angeblich von Gauß stammt, haaa haaa haaa , hat sich bis Heute bei keinem der Kopisten die Einsicht durchgesetzt, dass er doch nur für primitive Polynome Sinn hat. Warum?)
Wir wollen verabreden, dass die Koeffizienten der primitiven Form immer mit dem Buchstaben b zu notieren sind.
f ( x ) = b3 x ³ + b2 x ² + b1 x + b0 ( 1a )
b3 = 1 ; b2 = ( - 2 ) ; b1 = ( - 4 ) ; b0 = ( - 8 ) ( 1b )
( 1ab ) ist normiert; aus dem SRN folgt, dass sämtliche Wurzeln ganzzahlig sein müssen - dies die eigentliche Rechtfertigung für die Suche nach Teilern von b0 = 8 Fehlanzeige; damit steht fest, dass die von Wolfram angegebene Lösung x0 = 3.679 irrational ist.
Welches nummerische Verfahren du bemühst, bleibt deinem Scharfsinn überlassen. Ich selbst habe Erfolg reich auf der HP das Hornerschema programmiert und fortgesetzte Intervallhalbierung ( " Telefonbuchsuche " ) eingesetzt. Ausnahmsweise stimmte ich mit meinem Chef überein
" Umständlich sind diese Algorithmen doch alle; warum sich also nicht auf bloßes Probieren verlegen? "
Wie findet man die beiden noch ausstehenden Nullstellen?
f ( x ) =: ( x - x0 ) g ( x ) ( 2a )
mit dem quadratischen Faktorpolynom
g ( x ) =: x ² - p x + q ( 2b )
Niemand, nicht mal das Internet verlangt Polynomdivision mit Gleitkommazahlen. Und da kam mir eine spontane Idee; ich nannte sie " erste und zweite Alfonsinische pq_Formel " ( AF1 bzw. AF2 )
Der historische Hintergrund; ich besitze einen Kronzeugen, dass Michael Ende seinen Jim Knopf für mich alleine geschrieben hat ( hab ich halt den Jackpot geknackt. )
Der Film lief ja jetzt auch an; und da hielt ich es einfach für voll Witzig, meine formeln nach König Alfons 3/4 XII von Lummerland zu benennen
( Auch die Quarks der Kernphysik sind ja nach einem Werk der Weltliteratur benannt. )
Man muss allerdings Acht passen; da die beiden AF von dem Satz von Vieta abstammen, musst du das Polynom immer in Normalform gegeben haben - dies ist der Fall, weil ja ( 1ab ) normiert ist. In Normalform wollen wir die Koeffizienten immer mit a_i bezeichnen. Die AF lauten
a2 = - ( p + x0 ) = ( - 2 ) =====> p = ( - 1.679 ) ( 3a )
a0 = - q x3 = ( - 8 ) ===> q = 2.175 ( 3b )
g ( x ) = x ² + 1.679 x + 2.175 ( 3c )
Die AF bilden ein LGS zur Bestimmung von p und q - hier ihr hattet doch eindeutig schon schwerere LGS zu lösen; und noch nicht mal gekoppelt ...
Auf dem fossilen Portal ... erfuhr ich übrigens, dass sich meine Bezeichnung " AF " inzwischen allgemein durchgesetzt hat und ein kleines Kompliment, es handle sich " um die besten Formeln "
Die quadratische Gleichung ( 3c ) löst du am besten über den Satz von Vieta:
p = 2 Re ( z0 ) = - 1.679 ===> Re ( z0 ) = - .8400 ( vgl. Wolfram ) ( 4a )
q = | z0 | ² = 2.175 ===> | z0 | = 1.475 ( 4b )
