Stimmt diese Aufgabe? Extremwertaufgabe mit maximalem Flächeninhalt

Question

Aufgabe:

Der Koordinatenursprung und die Achsenschnittpunkte der Geraden g mit der Funktionsgleichung f(x) = -1/2x+6 bilden ein rechtwinkliges Dreieck. Diesem Dreieck wird ein Rechteck eingeschrieben, dessen Seiten parallel zur x- oder y- Achse verlaufen. Berechnen Sie die Länge, die Breite und die Fläche desjenigen Rechtecks, dessen Fläche maximal ist.

Problem/Ansatz:

Ich habe das so gemacht:

A(u) = u*f(u)

A(u) = (-u^2+12u)/2

Länge u: 6 Flächeneinheiten

Breite: 3 Flächeneinheiten

Fläche: 18 Flächeneinheiten^2

Answer 1

f(x) = 6 - 1/2*x

A = x * f(x) = 6x - 1/2*x^2

A' = 6 - x → x = 6

f(6) = 3

A = 6 * 3 = 18

Das sieht dann wie folgt aus

Answer 2

Hallo

 ausser dass Länge und Breite Längeneinheiten sind ist das richtig.

Gruß lul

Comments

Ja, habe copy paste gemacht, sorry und danke!

Answer 3

  Mein fieser Spezialtrick: hihi .  Die beiden Katheten des Dreiecks seien X und   Y  ,  die Rechteckseiten

       x  =:  ß  X        ;       0  <  ß  <  1      (  1a  )     ;

        y  =:  µ Y       ;   0  <  µ  <  1   (  1b  )

    Wir haben somit das Extremwertproblem

       ß  µ  =  max      (  2  )

   Den   Winkel ABC  nenne ich    ß1  ; dann folgt für den Tangens

                                                     y                        µ Y                               µ

       tg ( ß1 ) = Y / X      =       ------------   =      ---------------  =  ( Y / X )  ----------    ( 3a )

                                                 X - x                ( 1 - ß ) X                        1 - ß

    Wenn du  dann ( 3a ) kürzt durch   ( Y / X ) ,bleibt als Verhältnisgleichung stehen

            µ

       -------------  =  1   ====>   ß  +  µ  =  1      (  3b  )

         1 - ß

   Was besagen ( 2;3b ) ?   In dem ( abstrakten ) Raum der ( ß ; µ )   ist unter allen Rechtecken mit ( konstantem ) Umfang   2 ( ß + µ ) = 2  das mit der größten fläche gesucht.   Die Lösung kennt ihr;   das Quadrat  ß  =  µ  =  1/2 .

    ( Quadrat   natürlich nur in der " Beta_Mü_Welt  "    )  Manchmal muss man auch bereit sein, sich ein abstraktes quadrat vorzustellen ...

  Wofür schwärmt der Breitmaulfrosch? AbstrAkte QuAdrAte ...

Comments

wtf, xD? Das ist aber mal was ganz kompliziertes.

---

   Du weißt  :    Gerade  in der Geometrie muss man etwas  sehen.

   Mir ist schon klar, dass keiner außer mir auf sowas kommt.

    Doch worin liegt der Vorteil von Abstraktion?

   Stell dir mal vor, du bekommst hundert solcher Aufgaben.   Immer wieder andere Geradensteigungen. Spätestens dann spürst du das Bedürfnis nach einer allgemeinen Formel.

   Früher wie ich noch für ein ( fossiles ) Schülerforum arbeitetete, fiel mir auf, dass Schüler nicht in Proportionen denken können.  Die konnten durchaus Zahlen einsetzen in Formeln

   " Welches Volumen hat eine Kugel von 2 cm Durchmesser? "

   " Aber hier steht: Um wie viel vergrößert sich das Volumen, wenn sich der Radius verdoppelt? Woher soll ICH das wissen? Ich hab doch gar keine Zahlen; bitte helft mir ... "

   Hier jetzt geh mal aus von einem Dreieck, dessen Katheten betragen 47.11 Lichtjahre so wie 12.34 Lj .  Und dann wieder  47.11  ===>  Plancklängen so wie 12.34  PL   .

   Du hast doch schonmal   von ähnlichen Dreiecken gehört; irgendwo ist doch wohl klar, dass es für die Lösung dieser Aufgabe keine  Rolle spielen kann, ob sich das Dreieck in  mm oder in Parsec bemisst (  Ein absolutes Längenmaß existiert nicht. )

   Und da liegt es auf einmal gar nicht mehr so fern,  sich die Modellparameter aus dem Strahlensatz zu schnitzen;  die Antwort lautete ja ganz allgemein:

   Die Rechteckseiten müssen halb so lang sein wie die Katheten.

   Ich weiß; besonders fies war von mir, dass ich erst gar keine Ableitung gebildet habe, sondern  ganz listig die Kenntnis einer anderen Minimaxaufgabe  voraus geetzt habe.