Gebildete Menschen rechnen sowas immer mit Giuseppe Lodovico Spaghettix Conte Lagrangia da Torino. HB
F ( s ; x ; r ) := s x + 1/2 Pi r ² = max ( 1a )
NB
U ( s ; r ) := 2 s + Pi r = const ( 1b )
Wenn du aufmerksam mitliesest, wirst du dich vielleicht fragen: Wo bleibt denn der Zusammenhang zwischen r und x ? Lass dich überraschen; ich verzichte bewusst darauf. Demnach lasse ich sogar " Pilze " zum Wettbewerb zu . Den Lagrangeparameter von ( 1b ) nenne ich k .Wir müsen die Linearkombination bilden
H ( s ; x ; r ) := F ( s ; x ; r ) + k U ( s ; r ) ( 2a )
Notwendige Bedingung für Maximum: Der ===> Gradient von H verschwindet. Dass der Rechteckteil untertdrückt wird, siehst du sofort beim Ableiten nach x , weil wir hatten es ja bewusst so eingerichtet , dass U in ( 1b ) nicht von x abhängt. Spannend; was passiert jetzt beim Ableiten nach s und r ?
H_s = x + 2 k = 0 ( 2b )
H_r = Pi ( r + k ) = 0 ( 2c )
( 2c ) lösen wir nach dem Dummy k auf und setzen in ( 2b ) ein. Und oh Wunder - er findet von Selber die natürliche Randbedingung x = 2 r ...
Mit unserem Pilztrick erweist sich " Pi " als eine voll nebensächliche Konstante. Aktion Albert Lortzing
" Auch ich war ein Jüngling mit lockigem Har. "
Ich meine das so: In deinem Alter überwog bei mir auch der Spieltrieb. Du kannst gerne einmal vergleichen, was passiert, wenn du im Ansatz berücksichtigst, dass x = 2 r . Dann schleppst du dich nämlich ohne Ende mit dieser ungebetenen Konstanten Pi ; Pi erscheint auch in den Rechteckseiten.
Der Pilztrick scheint übrigens immer wieder zu funktionieren. Die wohl komplizierteste Aufgabe ihrer Art : Auf eine rechteckige Aschenbahn ist oben ein gleichseitiges Dreieck und unten ein Halbkreis aufgesetzt.
Aber kann man anschaulich begreifen, warum die Lösung aus einem Halbkreis besteht und er das Rechteck unterdrückt?
Die Antwort besteht aus zwei Teilen. Ihr kennt sicher das ===> isoperimetrische Problem ( IP ) wenn auch nicht unter diesem Namen.
( Griechisch " iso " = gleich ; " Perimeter " = " Herum_Maß " ( Umfang )
Unter allen geschlossenen Linienzügen ( Dreieck, Ellipse, " Aschenbahn " ... ) mit gegebenem Umfang ist die Flächen größte Figur gesucht. Die Lösung kennt ihr sicher: der Kreis . Zum Beweis bedarf es allerdings der ===> Variationsrechnung, einer Disziplin, der ein Physikstudent keines Falls ausweichen kann
( Bei Mathestudenten wäre ich mir da nicht so sicher. )
Bei uns beschränkte sich die Teilnahme an der Matheolympiade noch auf Kl. 12; ich schaffte die erste Etappe bis zum " Regionalsieger von Frankfurt " Austragungsort war die Wöhlerschule ; der Titelverteidiger , mein späterer Kommilitone " Alfred " , saß direkt neben mir.
Hinterher beschnupperten wir uns alle; sag mal, womit beschäftigst du dich so? Verffügst du über irgendwelche Spezialkenntnisse? 60 % der Antworten
" Ich versuche, Variationsrechnung zu verstehen. "
Jetzt kommt aber noch Teil 2 meiner Antwort, der " Spiegeltrick " Lege einen Spiegel auf die oben offene Dachrinne D . Ihr Spiegelbild D1 ist dann kongruent - D und D1 haben gleichen Umfang und gleichen Querschnitt. D.h. D + D1 bilden einen geschlossenen Linienzug aus zwei Halbkreisen ( = Vollkreis ) + noch etwas dazwischen mit doppeltem Umfang und doppelter Querschnittsfläche.
Die Extremalprobleme von D einerseits und D + D1 anderer seits sind ÄQUIVALENT . Wir wissen aber vom IP her, dass im Extremfall das " Dazwischen " zu verschwinden hat ...
Jeder anständige Mensch zitiert; den Spiegeltrick lernte ich kennen an Hand einer Mega komplitückischen aufgabe, so dass es mir leicht fällt, ihn auf diesen trivialen Fall anzuwenden. Ich verfasse daher noch einen Kommentar mit der nach meinem Kenntnisstand kompliziertesten Spiege lei .
