Grenzwerte berechnen. Term unklar: (1+1/(2n+3))^{n+5}

Question

Grenzwerte berechnen 2d). (1+1/(2n+3))^{n+5}

Ich brauche Hilfe bei der Aufgabe 2 d) für den oberen linken Term (über dem Bruchstrich) 1 raus habe, für den unteren Rechten Term(unterm Bruchstrich) einen bestimmten Term. Jedoch komme ich bei dem Term rechts oben nicht weiter. Würde mich freuen wenn mir jemand den Term vorrechnen könnte.

2. Aufgabe:

Folgende Grenzwerte von Folgen werden als bekannt vorausgesetzt:

\( \begin{array}{ll} \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{x^{n}}{n !}=0 \quad \forall x \in \mathbb{R}, & \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{c}=1 \quad \forall c>0 \\ \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{n}=1, & \lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}=e . \end{array} \)

Unter Zuhilfenahme dieser Grenzwerte berechne man:

a) \( \lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{2 n} \sqrt[n]{n+1} \)

b) \( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{\sqrt[n]{3}}{\sqrt[3]{n}} \)

d) \( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{\sqrt[n+5]{(2 n+6)^{2}}\left(1+\frac{1}{2 n+3}\right)^{n+5}}{(\sqrt[n]{3})^{3 n+1}+0.4^{\sqrt{n}+1}} \)

Answer 1

Schau mal, ob du das irgendwie mit e in Verbindung bringen kannst. https://de.wikipedia.org/wiki/Eulersche_Zahl

Limes von (1 + 1/n)^n ist e.

Limes von (1 + 1/n)^{2n} ist dann wohl e^2. Oder?


Ansonsten:

(1+1/(2n+3))^{n+5}

= (((2n+3) + 1)/(2n+3))^{n+5}

=((2n+4)/(2n+3))^{n+5}

=(2(n+2)/(2n+3))^{n+5}

= 2^{n+5} * (n+2)^{n+5} / (2n+3)^{n+5}

Was hier nach dem / steht, kannst du unter den Gesamtbruchstrich schreiben. Den Rest darüber.

Dann mit kürzen beginnen.

Comments

Vielen Dank! hat mir schon sehr weitergeholfen, jedoch sehe ich nicht was ich da kürzen kann?

Also habe es jetzt soweit: (2(n+2)/2n+3)^{n+5}