Umkehrfunktion von p(x)= 8 + 40/√x bitte überprüfen

Question

Aufgabe:

p(x)= 8 + 40/√x

Umkehren nach y

Problem/Ansatz:

y = 8 + 40/x^1/2      | ^2

y²= 64 + 40/x            | *x

y² * x = 104               | y²

x= 104/y²

Stimmt das so?

Comments

Hab da gerade noch eine Aufgabe, wo ich gerade nicht weiterweis

x(p)= 50 * e^-0,2p    

Wie kann man die -0,2p daraus bekommen????

---

Du logarithmierst.

---

Frage im Kommentar:

Vgl. https://www.mathelounge.de/613782/umkehrfunktion-log-ableitung

Answer 1

y = 8 + 40/x^1/2      | ²

Dann bekommst du

(1)        y² = (8 + 40/x^1/2)².

Die rechte Seite kann jetzt ausmultipliziert werden. Das führt dann aber nicht zu

        y² = 64 + 40/x

sondern zu

        y² = 64 + 2·8·40/√x + (40/√x)²

wegen binomischer Formel.

Stattdessen:

        \(\begin{aligned} y & =8+40/\sqrt{x} &  & |\,-8\\ y-8 & =40/\sqrt{x} &  & |\,\cdot\sqrt{x}\\ \left(y-8\right)\cdot\sqrt{x} & =40 &  & |\,:\left(y-8\right)\\ \sqrt{x} & =\frac{40}{y-8} &  & |\,{}^{2}\\ x & =\left(\frac{40}{y-8}\right)^{2} \end{aligned}\)

Außerdem:

y²= 64 + 40/x            | *x

Auch das führt nicht zu dem von dir behaupteten

        y² · x = 104,

sondern erst ein mal zu

(2)        y² · x = (64 + 40/x)·x.

Jetzt kann die rechte Seite wieder ausmultiplizert werden und man bekommt

        y² · x = 64·x + 40/x·x

was dann zu

        y² · x = 64·x + 40

vereinfacht werden kann.

Du solltest dir noch ein mal bewusst machen, dass Gleichungsumformungen wie

        ... = ...    | +5

nicht bedeuten "Da wird auf der einen Seite etwas weggemacht und taucht auf der anderen Seite auf.", sondern "Auf beiden Seiten der Gleichung wird die gleiche Operation durchgeführt". Wenn du unsicher bist, welche Auswirkungen eine Operation hat, dann hilft es vielleicht, die Zwischenschritte wie (1) und (2) explizit hinzuschreiben.

Answer 2

ich habe für p(x)  y gesetzt

y= 8+ 40/√x

y-8=40/√x | *√x

√x(y-8) =40

√x= 40/(y-8)

x= 1600/((y-8)^2)

---------->

y= 1600/((x-8)^2)

Answer 3

Oswald und der Grosse Löwe haben dir die korrekte Umformung schon gezeigt.

Wenn du unsicher bist, ob eine Umkehrfunktion stimmt, kannst du die plotten.

~plot~ 8 + 40/sqrt(x); 104/x^2 ;[[-70|70|-50|50]];x ~plot~

Die blaue Kurve ist gegeben.

Eine Spiegelung an der grünen Geraden sollte die rote Kurve geben.

D.h. irgendetwas stimmt nicht.

Zeichne auch die berechnete Umkehrfunktion.

~plot~ 8+40/sqrt(x);1600/((x-8)^2);[[-70|70|-50|50]];x;x=8 ~plot~

Das sieht nun richtig aus. Du musst einfach noch den Definitionsbereich der Umkehrfunktion einschränken.

Es ist nur der Teil des roten Graphen gesucht, für den x > 8 ist.

Grund: Es gab ursprünglich keine y ≤ 8.