z1,..,zn komplexe Zahlen, deren Imaginärteile nicht verschwinden. Wie Basis hier beweisen?

Question

Aufgabe:

Sei V ein C-Vektorraum und a₁,..,a_n ∈ V eine Basis. Seien weiterhin z₁,..,z_n komplexe Zahlen, deren Imaginärteile nicht verschwinden. Beweisen Sie, dass die 2n Vektoren a₁,z₁*a₁,a₂,z₂*a₂,,...,a_n, z_na_n ∈ V eine Basis von V bilden, wobei wir nun V als R-Vektorraum auffassen.

Problem/Ansatz:

Ich weiß gar nicht wie ich bei dieser Aufgabe vorgehen soll und wie ich so etwas beweisen soll.

Comments

Hallo

 irgendwas hast du falsch geschrieben. lies dir deinen post nochmal durch. Da die z Zahlen sind die a Vektoren, ist sicher a1,z1 usw keine Basis von irgendwas .

 soll da a1*z1 usw stehen? bitte post eine korrigierte Version!

 Gruß lul

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Oh, ja genau da soll a1,z1*a1,a2,z2*a2,.... stehen. Tut mir leid

Answer 1

Hallo

 da die ai schon n linear unabhängige Vektoren sind, musst du nur zeigen dass die zi*ai untereinander und zu den ai linear unabhängig sind. dazu benutze, dass die zi alle einen Imaginärteil ungleich 0 haben. (vielleicht stellst du sie dir erstmal rein imaginär vor) Dann hast du 2n Lin. unabhängige Vektoren im R^2n also eine Basis.

Gruß lul

Comments

Vielen Dank, aber so ganz verstehe ich die Aufgabe noch nicht. Warum bilden man denn jetzt eine Basis mit komplexen Zahlen in einem reellen Vektorraum?