Flächenberechnung Integral

Question

Aufgabe:

f(x)=x³ +2x²

Nullstellen: -2 und 0

Berechne den Flächeninhalt

Problem/Ansatz

Sind grade am Wiederholen von Integralrechnung, habe das aber nicht mehr so ganz im Kopf:

Mein Ansatz

\( \int\limits_{-2}^{0} \) f(x)=x^3+2x^2

Und dann? Oder wie geht das nochmal?

Answer 1

\( \int\limits_{-2}^{0} \)  (x^3 + 2x^2)dx 

= [ 1/4 x^4 + 2/3 x^3]_-2⁰ 

= 4/3

Answer 2

wenn du es nicht per Taschenrechner löst, dann die Stammfunktion F(x) bilden und diese mit der oberen Integrationsgrenze von der mit der unteren Integrationsgrenze als Argument subtrahieren.

\(F(x)=\displaystyle\int [x^3+2x^2]\, dx=\dfrac{x^4}{4}+\dfrac{2x^3}{3}+C\)

Und nun für das bestimmte Integral:

\(\displaystyle\int\limits_{-2}^0 [x^3+2x^2]\, dx=F(0)-F(-2)=\left(\dfrac{0x^4}{4}+\dfrac{2\cdot 0^3}{3} \right) - \left(\dfrac{(-2)^4}{4}+\dfrac{2(-2)^3}{3} \right)=\dfrac{4}{3}=A\)