y'=1+2x+y DGL lösen. Variation der Konstanten nötig / möglich?

Question

Ich habe Schweriegkeiten beim Lösen folgender DGL:

y'=1+2x+y , y(0)=0

Löst man dies mit Variation der Konstanten? Ich weiß es nicht, danke für jede Hilfe!

Answer 1

Hallo

Nein, das ist eine inhomogene lineare Dgl.  du löst die Homogene y'=y und suchst dann mit Ansatz y_p=a*x+b eine spezielle Lösung der inhomogenen Dgl und addierst die.

Gruß lul

Answer 2

Variation der Konstanten ist hier möglich:

Erstmal die homogene Gleichung lösen: \( y' = y \), da ist eine Lösung aber offenschtlich \( y(x) = c e^x \)

Variation der Konstanten Ansatz: \(y(x) = c(x)e^x\)

Ableiten: \( y'(x) = c'(x)e^x + c(x)e^x = c'(x)e^x + y(x) \)

In die DGL einsetzen: \( c'(x)e^x + y(x) = 1 + 2x + y(x) \implies c'(x) = e^{-x}(1+2x) \)

Diese Gleichung kann man jetzt einfach integrieren (z.B. partielle Integration) und erhält:

$$ c(x) = -e^{-x}(3+2x) + c_2 $$

Die allgemeine Lösung ist also: \( y(x) = c_2 e^x - (3+2x) = c_2 e^x -2x - 3 \)

Comments

Ich habe es nun selbst mit Variation der Konstanten asuprobiert, kome´me aber auf ein anderes Ergebnis. Könntest du mir sagen, wo mein Rechenfehler ist?

y(x) = (∫s(x)*e^(-G(x) dx + C)*e^(G(x))

s(x) = 2x

g(x)=1 G(x)=x

y(x)= (∫2x*e^(-x) dx +C)*e^(x)

∫2x*e^(-x) partielle Integration -> -2x*e^(-x) - 2*e^(-x)

y(x)= (-2x-2) + C*e^x

Danke

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s(x) müsste bei dir s(x)=2x+1 sein.

Answer 3

hier mit der Lösungsformel:

Comments

Ist dies das Verfahren der Variation der Konstanten?

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Ja , das ist es.

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Allles klar, danke! :)