Elastizität mit e-Funktion x(p)=50*e^{-0,2p}, p> 0

Question

Aufgabe:

Ein Unternehmen kalkuliert mit der Preis-Absatzfunktion
x(p)=50*e^-0,2p_.   p> 0
a) Berechnen Sie den Preis p, für den ein Umsatzmaximum erreicht wird. Weisen
Sie nach, dass für diesen Preis ein Umsatzmaximum vorliegt

Problem/Ansatz:

x'(p)=50*1/5*e^-0,2p

       = -10e^-0,2p

p'cx)/p(x)*p

= (-10pe^-0,2p)/(50*e^-0,2p)

= -p/5

p=5

Laut Lösung richtig

Weisen Sie nach, dass für diesen Preis ein Umsatzmaximum vorliegt

Ich hab keine Plan, wie ich das machen soll (Ich weiß bloß, ich das die p=5 in einer 2 Ableitung einsetzen muss)

Lösung: E``(p) = -10/e < 0 -->Max.

b) Berechnen Sie die Elastizität U , p ε des Umsatzes bzgl. des Preises.

Hier bin ich echt am verzweifeln, ich weiß nicht was ich machen soll

Lösung: ƐU,p = 1-0,2p

c) Begründen Sie mit Hilfe der in b) berechneten Elastizität, dass bei einem Preis
von 6€ eine Preissteigerung von 1% nicht zu einer Umsatzerhöhung führt.

Lösung: ƐU,6 = -0,2  unelastisch

Wäre echt toll wenn mir wer helfen könnte, ich weiß echt nicht mehr weiter.

Vielen Dank im voraus!

Answer 1

Für das Umsatzmaximum muss ja gelten, wenn U(p) die Funktion ist, die

den Umsatz in Abhängigkeit vom Preis beschreibt :

U ' (p) = 0   und U ' ' (p) < 0

U(p) = p*x(p) = p*50*e^-0,2p.   also U ' (p) = (50-10p)*e^-0,2p

also U ' (p) = 0 <=>   50-10p = 0 <=>  p=5

und U ' ' (p) = (2p-20)*e^-0,2p   also U ' ' (5) = -10*e^-1  < 0 also Max bei p=5

b) Elastizität des Umsatzes ist

EU(p)  = p* U'(p)   / U(p)

           =  p *  (50-10p)*e^-0,2p   /   p*50*e^-0,2p.

            = (50-10p) / 50  =   1 - 0,2p

c)  Für p=6 also  EU(6) = 1-1,2 = -0,2

Comments

also U ' (p) = 0 <=>  50-10p = 0 <=>  p=5

Wo sind die e^-0,2p hin?

---

c)  Für p=6 also  EU(6) = 1-1,2 = -0,2

Wieso ist p=6 ist p nicht 5?

---

1.

e^-0,2p ist nie 0, also kann man dadurch dividieren.

2.

.. dass bei einem Preis von 6€ eine

also p=6

---

also U ' (p) = 0 <=>  50-10p = 0 <=>  p=5
Wo sind die e-0,2p hin?


e-0,2p ist nie 0, also kann man dadurch dividieren.

 Durch was dividieren?

Da steht doch  U ' (p) = (50-10p)*e^-0,2p
                                    = (50-10p)*e^-0,2p=0

c)  Für p=6 also  EU(6) = 1-1,2 = -0,2
Wieso ist p=6 ist p nicht 5?

Sry, mein Fehler, hab die Aufgabestellung nicht gelesen

Vielen !!! Die Aufgabe bringt mich zum verzweifelt.

---

(50-10p)*e^(-0,2p)=0     |  : e^(-0,2p)

<=>   50 - 10 p = 0

<=>    p=5

 

Answer 2

Weisen Sie nach, dass für diesen Preis ein Umsatzmaximum vorliegt

Formt man \(x(p)=50e^{-\frac{1}{5}p}\) nach \(p\) um, dann bekommt man

        \(p(x)=5\ln\frac{50}{x}\).

Die Erlösfunktion ist somit

        \(E(x)=x\cdot5\ln\frac{50}{x}\).

Also ist

        \(E'(x)=-5 + 5\ln\frac{50}{x}\)

und

        \(E''(x)=-\frac{5}{x}\).

Die Gleichung \(E'(x) = 0\) hat \(x=\frac{50}{e}\) als einzige Lösung. Wegen \(E''\left(\frac{50}{e}\right) < 0\) liegt dort also ein Erlösmaximum vor. Der dazu passende Preis beträgt \(p\left(\frac{50}{e}\right) = 5\).

Berechnen Sie die Elastizität U , p ε des Umsatzes bzgl. des Preises.

Für den Umsatz \(U\) in Abhängigkeit des Preises \(p\) gilt

        \(\begin{aligned}U(p)&=E(x(p))\\&=50e^{-\frac{1}{5}p}\cdot5\ln\frac{50}{50e^{-\frac{1}{5}p}}\\&=50\cdot p\cdot e^{-\frac{p}{5}} \end{aligned}\)

und somit

        \(U'(p) = -10\cdot(p-5)\cdot e^{-\frac{p}{5}}\).

Also ist

        \(\varepsilon_{U,p} = \frac{U'(p)}{U(p)}\cdot p = -\frac{p-5}{5}\).

Begründen Sie mit Hilfe der in b) berechneten Elastizität, dass bei einem Preis von 6€ eine Preissteigerung von 1% nicht zu einer Umsatzerhöhung führt.

        \(\varepsilon_{U,6} = -\frac{6-5}{5} < 0\).

Comments

Formt man x(p)=50e^−1/5p nach p um, dann bekommt man

        p(x)=5ln50x.

Ich versteh nicht wie man das rauskriegt

50e^-1/5p=x  |natürlicher log

log(50)+(-0,2p)=ln(x)

Nur die Sache ich darf kein Taschenrechner benutzen daher würde wir das was ich raus habe nix bringen

Das nächste wäre

Wieso ist die Ableitung von ln(50/x)=-1/x ???

Besonders das -

E′(x)=−5+5ln50x 
x=50e

Wie kommt man darauf?

Ich vermute das man den log umkehrt aber wie versteh ich nicht (hat mir noch keiner gezeigt wie)

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Ich versteh nicht wie man das rauskriegt

\(\begin{aligned} x & =50e^{-\frac{1}{5}p} &  & |\,:50\\ \frac{x}{50} & =e^{-\frac{1}{5}p} &  & |\,\square^{-1}\\ \frac{50}{x} & =e^{\frac{1}{5}p} &  & |\,\ln\\ \ln\frac{50}{x} & =\frac{1}{5}p &  & |\,\cdot5\\ 5\ln\frac{50}{x} & =p \end{aligned}\)

Wieso ist die Ableitung von ln(50/x)=-1/x

ln(50/x) = ln(50) - ln(x) wegen Logarithmusgesetzen.

Ableitung von ln(50) ist 0 und Ableitung von - ln(x) ist -1/x.