Erste und zweite Ableitung von f(x)= e^x * sinx?

Question

Heiii <3

Ich brauche Hilfe bei folgender Aufgabe:

Erste und zweite Ableitung von:

f(x)= e^x • sinx

Ich weiß, dass ich hier mit der Produktregel arbeiten muss.

Mein Lösungsansatz ist folgender:

f'(x) = (e^x • sinx) + (e^x • cosx)

Jetzt muss ich beide Klammern jeweils zusammenfassen, weiß aber nicht wie..

Mein Gedanke ist folgender: e^xsinx + e^xcosx      aber ich denke, dass dieser Gedanke falsch ist.

Ich bedanke mich im Voraus für jede erdenkliche Hilfe.

PS: Bin in der 8ten Klasse xD

Answer 1

du hast \(f(x)=\underbrace{e^x}_{:=u}\cdot \underbrace {\sin(x)}_{:=v}\) Hierbei ist \(u'=e^x\) und \(v'=\cos(x)\). Nach der Produktregel ist nun:$$f'(x)=\colorbox{#ffff00}{exp(x)}\cdot \cos(x)+\colorbox{#ffff00}{exp(x)}\cdot \sin(x)\Longleftrightarrow e^x(\cos(x)+\sin(x))$$

Comments

Wäre dann die zweiten Ableitung nicht auch:

f''(x) = e^x(cos(x)+sin(x) ?

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Da fehlt 1. eine Klammer und 2. nein, sie lautet \(f''(x)=2e^x\cos(x)\)

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Nein. \(f''(x)=e^x\cdot (\cos(x)+\sin(x))+e^x\cdot (\cos(x)-\sin(x)) \Longleftrightarrow 2e^x\cdot \cos(x)\)

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Racine, könntest du mir das vielleicht Schritt für Schritt erklären? Ich checke das nicht so ganz :( (zweite Ableitung)

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Du hast \(f'(x)=e^x(\cos(x)+\sin(x))\) mit \(u=e^x\) und \(v=\cos(x)+\sin(x)\). Die Ableitung von \(u\) ist \(u'=e^x\), die Ableitung von \(v\) ist \(v'=-\sin(x)+\cos(x)\).

Nicht nur die Funktion vom Kosinus und Sinus sind periodisch, auch deren Ableitungen. Siehe hier im "Ableitungskreis":

Nun einfach die Produktregel anwenden \((u\cdot v)'=u'\cdot v+v'\cdot u\)$$e^x\cdot (\cos(x)+\sin(x))+(-\sin(x)+\cos(x))\cdot e^x$$ Wenn du die Klammern ausmultiplizierst, so erhältst du:$$e^x\cdot \cos(x)+\textcolor{#f00}{e^x\cdot\sin(x)} \textcolor{#f00}{-} \textcolor{#f00}{\sin(x)\cdot e^x}+\cos(x)\cdot e^x$$

Das gelb-markierte löst sich wegen dem Minus auf:

$$e^x\cdot \cos(x)+\cos(x)\cdot e^x=2\cdot e^x\cdot \cos(x)$$

Answer 2

f'(x) = (e^x • sinx) + (e^x • cosx)

Das darfst du laut Distributivgesetz umwandeln zu

        f'(x) = e^x • (sin x + cos x).

Das ist das gleiche Gesetz, nach dem du

   7 · 13
= 7 · (10 + 3)
= (7·10) + (7·3)
= 70 + 21
= 91

rechnen darfst, nur in die andere Richtung angewendet.

Mein Gedanke ist folgender: e^xsinx + e^xcosx

Das darfst du wegen Punkt- vor Strichrechnung. Das ist eine Übereinkunft, die man getroffen hat, um nicht so viele Klammern schreiben zu müssen. Man hätte sich genauso auf Strich- vor Punktrechnung einigen können, ohne dass man zu einer anderen Mathematik gekommen wäre.

Answer 3

e^x • sin(x) + e^x • cos(x)

Answer 4

Zu $$f(x) = u(x)\cdot e^x$$ ist $$f'(x)=\left(u'(x)+u(x)\right)\cdot e^x$$ und $$ f''(x)=\left(u''(x)+2\cdot u'(x)+u(x)\right)\cdot e^x $$ usw. Damit gilt in deinem Falle: $$f(x)=\sin(x)\cdot e^x \\ f'(x)=\left(\cos(x)+\sin(x)\right)\cdot e^x \\ f''(x)=\left(-\sin(x)+2\cdot \cos(x)+\sin(x)\right)\cdot e^x=2\cdot \cos(x)\cdot e^x$$

PS: Bin in der 8ten Klasse xD

:-)