Untersuchung einer Funktionsschar

Question

Aufgabe:

Gegeben ist folgende Funktionsschar:

fa(x)=x^2-4ax+2x+6a-3

a) Gebe die gemeinsamen Punkte aller Graphen an.

b) Gebe den Tiefpunkt an

c)Für welche Werte von a liegt der Tiefpunkt des Graphen von fa auf der x-Achse?

d) Für welchen Wert von a liegt der Tiefpunkt des Graphen von fa am höchsten?

Problem/Ansatz:

a) x^2-4ax+2x+6a-3=x^2-4bx+2x+6b-3

Soweit dürfte es stimmen, aber wenn ich nun die Gleichung auf eine Seite bringen will kommt 8x(a+b)+a-b=0 oder so raus, alles andere löst sich ja auf. Laut den Lösungen muss aber 2(-2x+3)(a-b) =0 rauskommen und aus -2x+3=0 soll der gemeinsame Punkt berechnet werden. Wie muss man vorgehen?

b) f'(x)=2x-4a+2    f''(x)=2

Tiefpunkt: T(2a-1| -4a^2+10a-4)

Das müsste stimmen

c) & d)

Bei diesen Aufgebn habe ich überhaupt keinen Ansatz, keine Ahnung wie ich vorgehen muss.

Comments

https://www.mathelounge.de/483994/gemeinsame-punkte-der-graphen-einer-funktionenschar

Answer 1

a) Gebe die gemeinsamen Punkte aller Graphen an.

x^2 - 4·a·x + 2·x + 6·a - 3 = x^2 - 4·b·x + 2·x + 6·b - 3
- 4·a·x + 6·a = - 4·b·x + 6·b
6·a - 6·b = 4·a·x - 4·b·x
6·(a - b) = 4·(a - b)·x für a ≠ b teilen wir durch a - b
6 = 4·x
x = 6/4 = 3/2 = 1.5

fa(3/2) = 9/4 = 2.25 → P(1.5 | 2.25)


b) Gebe den Tiefpunkt an.

fa'(x) = 2·x - 4·a + 2 = 0 → x = 2·a - 1
fa(2·a - 1) = -4·a^2 + 10·a - 4 → TP(2·a - 1 | -4·a^2 + 10·a - 4)


c) Für welche Werte von a liegt der Tiefpunkt des Graphen von fa auf der x-Achse?

y = -4·a^2 + 10·a - 4 = 0 → a = 0.5 ∨ a = 2


d) Für welchen Wert von a liegt der Tiefpunkt des Graphen von fa am höchsten?

y = -4·a^2 + 10·a - 4
y' = 10 - 8·a = 0 → a = 1.25

Answer 2

Hallo Amelie,

a) hast du ja schon bei Mathecoach.

Nachtrag:  Der Rest wurde dann 20 Minuten später dort auch nachgetragen!

b)  T(2a-1 | -4a²+10a-4)  ist richtig

 c) Für welche Werte von a liegt der Tiefpunkt des Graphen von fa auf der x-Achse? 

auf der x-Achse muss die y-Koordinate von T  = 0 sein:

-4a²+10a-4 = 0

  a² - 5/2 a + 1 = 0

pq-Formel →     a₁ = 2  ,  a₂ = 1/2

d) Für welchen Wert von a liegt der Tiefpunkt des Graphen von fa am höchsten?

Das ist der a-Wert  des Scheitelpunkts (Hochpunkts) der "Tiefpunktparabel"

y = -4a²+10a-4

y ' = -8a +10 = 0   →  a = 5/4

Gruß Wolfgang