Limes umformen der Wurzeln.

Question

Aufgabe:

$$ \text { c) } \quad a_{k}=\frac{\sqrt{k+1}}{\sqrt{k+2}-\sqrt{2 k-3}} $$

k-> oo
Problem/Ansatz:

Answer 1

Erweitere den Bruch mit

$$\sqrt{k+2}+\sqrt{2k-3}$$

Alternative: Klammere in Zähler und Nenner \(\sqrt{k}\) aus und kürze es.

Comments

Wie erweitere ich den Bruch mit den Wurzeln?

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Stoff der Klasse 5:

Erweitern heißt: Zähler und Nenner mit dem selben Faktor multiplizieren.

Welchen Faktor du nehmen sollst, habe ich dir geschrieben.

Answer 2

Erweitere gemäß 3. binom. Formel

√(k + 1)/(√(k + 2) - √(2·k - 3))

= √(k + 1)·(√(k + 2) + √(2·k - 3)) / ((√(k + 2) - √(2·k - 3))·(√(k + 2) + √(2·k - 3)))

= √(k + 1)·(√(k + 2) + √(2·k - 3)) / (5 - k)

= (√(2·k^2 - k - 3) + √(k^2 + 3·k + 2)) / (5 - k)

= (k·√(2 - 1/k - 3/k^2) + k·√(1 + 3/k + 2/k^2)) / (k·(5/k - 1))

= (√(2 - 1/k - 3/k^2) + √(1 + 3/k + 2/k^2)) / (5/k - 1)

lim k --> ∞

= (√(2 - 0 - 0) + √(1 + 0 + 0)) / (0 - 1)

= - √2 - 1