Zeigen, dass g(x)=x^2-12*ln(x+1)-5 genau 2 Nullstellen hat?

Question

3 Antworten

Ein anderes Problem?

TR · Answer 1 · 2019-03-09T16:46:54+0000

Zeigen sie, dass g(x)=x^{2}-12*ln(x+1)-5 genau 2 Nullstellen hat.
Problem/Ansatz:

Ich weiß leider gar nicht, wie ich hier vorgehen soll

1. Könnte sein, dass ihr einen Mittelwertsatz gelernt habt / lernen sollt. Wie habt ihr den genau formuliert?

2. Suche x-Werte, für die g(x) verschiedene Vorzeichen hat. Z.B. mit einer Wertetabelle findest du schnell ein paar Funtionswerte.

3. Untersuche die Monotonie / Ableitung und die Stetigkeit von g.

4. 1. - 3. kombinieren.

mathef · Answer 2 · 2019-03-09T17:04:36+0000

g (x) = x^2-12*ln(x+1)-5 ist nur definiert für x>-1.

Die Ableitung ist g ' (x) = 2x - 12 / (x+1) = (2 * (x-2) * (x+3) ) / (x+1)

also gilt g ' (x) < 0 für -1 < x < 2 und g ' (x) > 0 für x > 2

Für x gegen -1 geht g(x) gegen unendlich.

und ist dann bis x=2 streng monoton fallend, und

hat bereits bei x=0 den Wert -5 , also negativ

und hat deshalb im Bereich von -1 bis 0 als

stetige Funktion eine Nullstelle und wegen der Monotonie

ist das in dem Bereich -1 bis 2 die einzige.

Für alle x > 2 ist f streng monoton steigend und

hat z.B. für x=e^2-1 den Wert

(e^3-1)^2 - 36 - 5 = (e^2-1)^2 - 41

und wegen e^3 > 2,5^3 = 15,625 gilt

(e^3-1)^2 > 14,625^2 > 200

also ist g(e^3-1) > 0 und wegen der Monotonie im Bereich

für x>2 liegt also in diesem Bereich wieder genau eine Nullstelle.

Also hat g genau 2 Nullstellen.

Der_Mathecoach · Answer 3 · 2019-03-09T17:04:43+0000

f(x) = x^2 - 12·LN(x + 1) - 5 ; D = ]-1 ; ∞[

Verhalten an den Grenzen des Definitionsbereiches

lim (x → -1+) f(x) = ∞

lim (x → ∞) f(x) = ∞

f'(x) = 2·x - 12/(x + 1) = 0 --> x = 2

Eine Extremstelle bei 2

f(2) = -12·LN(3) - 1 = -14.18334746

Damit gibt es genau eine Nullstelle im Intervall ]-1 ; 2[ und genau eine Nullstelle im Intervall ]2 ; ∞[.