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Bestimmen Sie den Erwartungswert für die Lebensdauer dieses Bustyps.
Zuallererst, die Exponentialverteilung ist eine durchgehende Wahrscheinlichkeitsverteilung, die oft verwendet wird, um die Zeitspanne zwischen Ereignissen zu modellieren. Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (PDF) der Exponentialverteilung ist gegeben durch:
\(f(x;\lambda) = \lambda e^{-\lambda x}\) für \(x \geq 0\), und \(0\) sonst.
Der Parameter \(\lambda\) ist der Rateparameter der Verteilung, und der Erwartungswert \(E(X)\) einer exponentialverteilten Zufallsvariable \(X\) ist \(\frac{1}{\lambda}\).
Aus der Aufgabenstellung erhalten wir, dass 90 % der Busse eine Lebensdauer von mehr als 10 Jahren haben. Dies kann durch die kumulative Verteilungsfunktion der Exponentialverteilung (CDF), welche durch \(1 - e^{-\lambda x}\) gegeben ist, ausgedrückt werden. Somit haben wir:
\(P(X > 10) = 0.9 = 1 - P(X \leq 10) = 1 - (1 - e^{-\lambda \cdot 10})\)
Durch Umformung der Gleichung erhalten wir:
\(e^{-\lambda \cdot 10} = 0.1\)
Durch Logarithmieren lösen wir nach \(\lambda\) auf:
\(-\lambda \cdot 10 = \ln(0.1)\)
\(\lambda = -\frac{\ln(0.1)}{10} = \frac{\ln(10)}{10}\)
Da \(\ln(10) = 2.3026\), setzen wir dies in die Formel ein:
\(\lambda = \frac{2.3026}{10} = 0.23026\)
Nun können wir den Erwartungswert der Lebensdauer der Busse bestimmen:
\(E(X) = \frac{1}{\lambda} = \frac{1}{0.23026} \approx 4.3429\)
Somit beträgt der Erwartungswert für die Lebensdauer dieses Bustyps etwa 4,34 Jahre.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit bleibt ein zufällig ausgewählter Bus dieses Typs mindestens fünf Jahre intakt?
Um diese Wahrscheinlichkeit zu finden, nutzen wir die CDF der Exponentialverteilung. Für die Zeitdauer \(x = 5\) Jahre:
\(P(X > 5) = 1 - P(X \leq 5) = 1 - (1 - e^{-\lambda \cdot 5})\)
Wir setzen den zuvor gefundenen Wert von \(\lambda = 0.23026\) ein:
\(P(X > 5) = 1 - (1 - e^{-0.23026 \cdot 5})\)
\(P(X > 5) = 1 - (1 - e^{-1.1513})\)
\(P(X > 5) = e^{-1.1513} \approx 0.316\)
Daher bleibt ein zufällig ausgewählter Bus dieses Typs mit einer Wahrscheinlichkeit von etwa 31,6 % mindestens fünf Jahre intakt.
